فراکتال‌ چیست؟ مفهوم آن در هندسه، ریاضیات و ارتباط آن با نقوش اسلامی در بناها و مساجد ایران

0

میثم میریان (کارشناس ارشد پژوهش هنر، دانشکده هنر و معماری)

چکیده

امروزه فراکتال‌ها با برخال‌ها با تصاویر زیبا و مفتون کنندهٔ خود توانسته‌اند تاثیر بزرگی را در زندگی ما بر جای بگذارند و به عنوان تازه‌ترین یافته‌های بشر در علوم، فناوری، هنر و صنعت جایی را در پژوهش‌های دانشمندان به خود اختصاص دهند به گونه‌ای که رد پایی از آن را در طبیعت، علوم زیستی، تزئینات بناهای اسلامی در غالب مقرنس‌ها می‌توان مشاهده کرد. مقاله حاضر ضمن تشریح تاریخچه پیدایش و شکل‌گیری فراکتال‌ها به بررسی ساختارهای آن‌ها از منظر ریاضیات و هندسه و تشریح و توضیح آن‌ها در سیستم‌های پویا و نظام‌های برخه‌ای و نقش آن‌ها در تزئینات و نقوش اسلامی در غالب مقرنس‌ها به عنوان یکی از مهم‌ترین ارکا معماری اسلامی و ایرانی می‌پردازد

  1. مقدمه

تاریخ‌نگاران، تولد بحث فراکتالیسم ۱ را به حدود سال ۱۹۶۰ میلادی نسبت می‌دهند. آنها معتقدند که هندسه فراکتالی در نتیجه بررسی‌های مندلبروت، در دهه‌های ۱۹۶۰ تا ۱۹۷۰ ایجاد شد، ولی من فکر می‌کنم که جای پای فراکتال را می‌توان در نقاشی‌های جکسون پولاک ۲ که سال‌ها قبل از مندلبروت می‌زیست، مشاهده کرد. پولاک در یک شب طولانی ماه مار، مستانه و در آستانه خودکشی، شالوده یکی از شاهکارهای خویش «قطب‌های آبی: شماره ۱۱‌، سال ۱۹۵۲» را بنیان گذاشت. او بوم بزرگی را کف انبارش فرش کر دو با یک تکه چوب، رنگ معمولی را از یک قوطی کهنه روی بوم

۱۰۸ هنر, بهار و تابستان ۱۳۹۱ – شماره های ۸۵ و ۸۶

چکاند. این نخستین باری نبود که هنرمند یک نقاشی را قطره قطره روی بوم می‌ریخت. پولاک برخلاف خطوط شکسته‌ای که تماس متعارف قلم مو با بوم ایجاد می‌کند، تکنیکی ابداع کرد که در آن جریان ثابتی از رنگ روی بوم‌های افقی ریخته می‌شود تا خطوط پیوسته منحصر به فردی پدید آورد. در دوره پولاک، چنین پنداشته می‌شد که طبیعت بی‌نظم است و اساس تصادفی عمل می‌کند.۳

به نظر من پولاک کاری کرد که کم‌تر هنرمند آمریکایی دیگری می‌تواند به آن دست یابد. او نشان داد که چگونه یک نقاش انتزاعی می‌تواند بوم‌های زیبا، ژرف، معماگونه و جذاب را با شعر و معنا درآمیزد.۴

۱.۱. خود همانندی در اشکال هندسی

فراکتال‌ها خود همانند (خود متشابه) هستند، بدین معنی که: یک فراکتال در هر اندازه‌ای و با هر مقیاسی، مشابه مقیاس‌های دیگر به نظر می‌رسد. (کل شکل از اجزایی مشابه شکل اول تشکیل شده است). به این خاصیت، خود همانندی می‌گویند. مثلا در مثلث سرپینسکی، مثلث بزرگ از مجموعه‌ای از مثلث‌های همسان به وجود آمده است. این یکی از خصوصیات زیبای فراکتال‌هاست که هم‌زمان از سوی طبیعت و فناوری به کار گرفته شده است.

۱.۲. آرایش تکرار شونده

فراکتال‌ها اغلب با مراحل تکراری ایجاد می‌شوند. برای ساخت فراکتال یک شکل هندسی مثل یک خط یا مثلث را در نظر بگیرید و روی شکل مورد نظر عملیاتی انجام دهید، حال شکلی پیچیده‌تر از شکل اولیه دارید. همان عملیات را روی شکل جدید انجام دهید. این بار شکلی پیچیده‌تر از قبل دارید. باز همان عملیات رار تکرار کنید تا الی آخر…به نظر می‌رسد می‌توان تا بی‌نهایت ادامه داد. اما هر عملیات تکرار شونده روی اشکال، منجر به پیدایش فراکتال‌ها نمی‌شود. مثل اگر یک خط را بخش بخش کنید و تا بی‌نهایت این کار را ادامه دهید، یک فراکتال ایجاد نخواهد شد. در ادامه، مراحل تکرار در یک فراکتال را بررسی می‌کنیم: بخشی از یک خط را در نظر بگیرید و یک سوم میانی آن را خارج سازید. آنچه باقی مانده یک خط است با یک فضای خالی میانی، این کار را تکرار کنید، یعنی یک سوم میانی بخش‌های باقی مانده خط را خارج سازید حال تصور کنید این کار را تا بی‌نهایت انجام می‌دهید. آنچه حاصل می‌شود فراکتال معروفی به نام «غبار کانتور» است.

۱.۳. آشنایی با هندسه فراکتال ۵ و کاربردهای آن در هندسه اقلیدسی

با کمی دقت در اطراف خود متوجه می‌شویم که پدیده‌هایی وجود دارند که به علت نامنظم‌بودن شکل‌شان، آنها را نمی‌توان با هندسه رایج (هندسه اقلیدسی) به طور دقیق توصیف و اندازه‌گیری کرد. به عنوان مثال می‌توان سطح قاره‌ها، صفحات پوسته زمین، کوه‌ها، دریاها، توپوگرافی مناطق، ترک‌های نمناطق رسی و خردشدگی یک کانی را نام برد. این هندسه غیررایج و غیرمعمول، برای محاسبهٔ پدیده‌هایی که دارای ابعاد ناصحیح و اشکال نامنظم و بی‌قاعده‌اند، به کار گرفته می‌شود. بنابراین هندسه فراکتال، توصیف فراکتال و توصیف‌گر طبیعت است-آن طوری که طبیعت اعمال می‌کند و نه به گونه‌ای که بشر می‌خواهد و این می‌تواند مزیست بزرگی برای این شاخه از ریاضیات باشد.

۲-۲ برخال، واژه فارسی فراکتال

برخال ۶، ساختارهایی هستند که خود را در مقیاس کوچک‌تر تکرار می‌کنند. نشان دادن این ساختارها در قالب نگارین (گرافیکی) گاه اشکال نامنظم، نغز و پیچیده‌ای را با فرمول‌های ساده ریاضی تولید می‌کند. برخال‌ها از سال ۱۹۸۰ به بعد مورد نگرش واقع شده و هندسه نوینی به نام هندسهٔ برخالی را پدید آورده‌اند. افزون بر اهمیت نظری، از این هندسه به عنوان وسیله‌ای برای الگوبندی پدیده‌های پیچیده استفاده می‌شود. نظریه‌پرداز اصلی هندسه بر خالی بنویت مندلبرت ۷ است. واژه برخال از دوپاره”برخ”و”ال”ساخته شده است. برخ واژه فارسی برای کسر ۸ است و پسوند ال، پسوندی به معنای «مرتبط با» است. ویژگی اصلی برخال‌ها، تکرار متوالی یک اصل است. برخلاف برخال‌های ریاضی، در بسیاری از موارد قانون حاکم بر ساخته شدن برخال‌های طبیعی برای ما مشخص نیست، پس ما نمی‌توانیم به سادگی برخال‌های ریاضی، بعد برخالی آنها را به دست آوریم.

۲-۳ الگوهای رویش برخالی

پدیده‌های رویش درخت‌وار در پیمانه‌های (مقیاس‌های) کوچک تا بزرگ در طبیعت دیده می‌شوند. رویش بلورها در سنگ‌های آذرین، رسوب‌گذاری الکتروشیمیایی، شبکه آبراه‌ها و رودخانه‌ها، رویش توده باکتری‌ها، نمونه‌هایی از پدیده‌های رشد در طبیعت هستند. پرسش در این است که چگونه می‌توان این پدیده‌های رویش را الگوبندی کرد؟ رویش درخت‌وار با مفهوم برخال در پیوند است. ویتن و سندر ۹ برای نخستین بار، الگوی جمع شدن با پراکندگی محدود ۱۰ که به طور اختصار ALD نامیده شد را ارائه دادند.

(به تصویر صفحه مراجعه شود) این الگو دارای دو بخش اصلی هسته اولیه و پیمایش گرهای کنزه‌ای است. در این الگو یک پیمایش‌گر کنزه‌ای آنقدر در یک فضای محدود حرکت می‌کند تا به نزدیکی هسته اولیه برس دو به آن می‌چسبد. در این زمان یک پیمایش‌گر کنزه‌ای دیگر در حاشیه فضای محدود رها می‌شود و روند بالا دوباره تکرار می‌شود. تکرار این فرایند بسیار ساده باعث تولید یک موجود درخت‌واره می‌شود که خیلی شبیه پدیده‌های رویش طبیعی است. الگوی جمع‌شدن با پراکندگی محدود به این معنی است که پس از این که ذره به ذره‌های پیشین چسبید، هرگونه حرکت بعدی جهت نظم‌گیری با ذرات دیگر اجازه داده نمی‌شود.

۳-۱ فراکتال چیست؟

فراکتال یک شکل پیچیدهٔ هندسی است که از بی‌نهایت قطعهٔ کوچک‌تر و مشابه شکل اصلی تشکیل شده است. فکر یک مثال می‌تواند شما را با ایده و فلسفهٔ اساسی فراکتال‌ها بیشتر آشنا کند. فرض کنید یک مثلث متساوی الاضلاع را پیش روی خود دارید. اگر توسط سه خط نقاط میانی سه ضلع مثلث را به هم متصل کنید حاصل یک مثلث دیگر خواهد بود ‌ که در قلب مثلث اصلی جا دارد. در این حال دقت کنید که مثلث اصلی خود به چهار شکل کوچک‌تر تقسیم شده است. این عمل را می‌توان روی هریک از چهار مثلث فرعی تا بی‌نهایت تکرار کرد. فلسفه اولیهٔ اختراع فراکتال‌ها همین بوده است. اصطلاح فراکتال نخستین‌بار در سال ۱۹۷۵ توسط یک ریاضی‌دان خلاق به نام بنویت مندلبرت برای تشریح گروهی از اشکال که به طور نامنظم الگویی را نمایش می‌دهند، انتخاب شد. کارشناسان رایانه (مانند گرافیست‌های رایانه‌ای) بسیاری از اوقات از فراکتال‌ها در تصاویر شبه طبیعی مانند منارظ، ابرها، جنگل‌ها، سواحل قاره‌ای و صخره‌های کنار ساحل یا بافت‌های دیگری که الگوی تکرار شوندهٔ معینی دارند استفاده می‌کنند. اما با این حال خود فراکتال‌ها به اندازهٔ کافی زیبا هستند به گونه‌ای که می‌توانند مستقلا به عنوان یک اثر هنری نمایش داده شوند. از خصوصیات بارز فراکتال‌ها این است که هر قطعه‌ای از اجزای آن که بزرگ شود ۱۱ مانند کل آن است! در واقع هر جزء از یک فراکتال، خود فراکتال دیگری است که می‌توان آن را تا بی‌نهایت به اجزای کوچک‌تر تقسیم کرد. از ویژگی‌های دیگر فراکتال‌ها این است که محیط محدودی دارند اما نمی‌توان مساحت آنها را اندازه گرفت چون این کار بستگی به آن دارد که کوچک‌ترین جزء این مجموعه را در چه ابعاد و اندازه‌ای تصور کنیم.

ساختارهای ریاضی مشهوری وجود دارند که جزو دستهٔ فراکتال‌ها هستند. از آن جمله می‌توان «مثلث iksnipreiS»، «دانه‌های برف hcoK»، «منحنی onaeP»، «مجموعهٔ torblednaM» و “rotcarttA zneroL” را نام برد. رابطهٔ میان منحنی zneroL و علم هواشناسی در همین نکتهٔ ظریف اخیر نهفته است. مندل بروت در توضیح خود اضافه می‌کند: «…بنابراین قطعه قطعه شدن ۱۲ و تقسیم شدن مجدد به قطعات کوچک‌تر ۱۳ در این پدیده کاملا محسوس است و از سوی دیگر عبارت sutcarF‌ به معنی بی‌نظمی نیز هست» soahC (به معنی بی‌نظمی). در فلسفهٔ مدرن نیز بحثی به همین نام)soahC‌(وجود دارد که با کلیت «نظم در بی‌نظمی» مطرح می‌شود. مندل بروت معتقد است ساختار طبیعت یک هندسهع‌ی فراکتالی دارد.

۳-۲ ریاضیات فراکتال‌ها

فراکتال‌ها ابعادی کسری دارند. درک این موضوع در وهلهٔ اول ممکن است کمی بغرنج به نظر برسد ولی در واقع موضو ۰ ع ساده است کافی است مفهوم بعد را تعریف کنیم به این صورت که: «هنگامی می‌گوییم یک شکل معین n بعدی است که اگر اجزای آن شکل را K برابر کنیم خود شکل W برابر شود به طوری که داشته باشیم N-Kgol‌/Wgol مثلا وقتی که طول یک خط را دو برابر کنیم آن خط هم (به عنوان یک شکل هندسی) دو برابر می‌شود پس پس خط، یک شکل یک بعدی است اما وقتی اضلاع یک مربع را دو برابر می‌کنیم خود شکل چهار براب رمی‌شود بنابراین مربع یک شکل دو بعدی است. در فراکتال‌ها هم بعد همین‌گونه تعریف می‌شود. مثلا منحنی «دانه‌های برف» یکی از فراکتال‌هاست: خطی به طول ۳ سانتی‌متر را در نظر بگیرید (—) اکنون این خط را با شکلی به صورت (-^-) عوض کنید که در آن هریک از چهار قسمت شکل جدید براب ر ۱ سانتی‌متر باشد. اکنون اجزای حاصل چهار برابر شکل قبلی خواهد بود چون به جای هر جزء سه سانتی‌متری از شکل جدید می‌توانید یک منحنی قدیمی «دانه‌برفی» قرار دهید. بنابراین منحنی دانه برف یک فراکتال ۱/۲۶ بعدی است ۱۴‌ ۳gol/4gol

۳-۳ فراکتال‌ها و مقیاس‌ها

نوع خاصی از سیستم‌های citoahC که به نام srotcarttA egnartS مشهور است، خانوادهٔ مهمی از فراکتال‌ها را معرفی می‌کند. از جمله منحنی لونز که بیشتر از آن گفتیم. از میان انواع فراکتال‌ها خانوادهٔ «مجموعهٔ مندل بروت» مشهورتر است که در آن معادلهٔ ریاضی C+2^Z-Z (در فضای اعداد مختلط) به کار می‌رود و C عددی است که بخش موهومی آن بین j5.1- و j1.5+ و بخش حقیقی آن بین ۲- و ۱+ است. جواب این معادله پس از حل دوباره به جای عدد C قرار می‌گیرد و از تکرار حل این معادله نقاطی به دست می‌آیند که شکل زیبا و پیچیدهٔ «مجموعهٔ مندل بروت» را می‌سازند. با تغییر دادن شکل معادلهٔ یاد شده اشکال زیبای دیگری به دست می‌آیند. مثل اگر در معادلهٔ C+2^Z-Z نقش C و Z را عوض کنیم (C ثابت و Z متغیر) به نوع دیگری از فراکتال‌ها می‌رسیم که «مجموعهٔ جولیا»۱۵ نام دارند. ترکیبات متنوعی از این معادلات را می‌توان ساخت و حل کرد و حاصل را ترسیم نمود.

برخی از اصطلاحات ریاضی در هندسهٔ فراکتال‌ها که می‌تواند شما را در جست‌وجوی تحقیقاتی در مورد فراکتال‌ها کمک کند از این قرارند: «ریاضیات اعداد مختلط»، «معادلات citsigol«، «ثابت muabnegieF»، «توابع تکرار»)noitcnuF noitaretI(،»smetsyS-L«، «فراکتال‌های لیاپانوف». عنوان‌های جالب دیگری نیز مانند: «رشته کوه‌های فراکتالی»، «موسیقی فراکتالی» و «ابرهای پلاسما» وجود دارند.

۴-۱ نظریه فراکتال در سیستم‌های پویا…

درک رمز و رازهای چگونگی وقوع رشد، توسعه و تحول در سیستم‌های سازمان‌مند و بغرنج، برای هرگونه نظریه‌پردازی دربارهٔ سیستم‌های انسانی، حائز اهمیت فراوان است. این بخش با ژپوهش در نظریهٔ توسعه و رشد برخه‌ای ۱۶ در سیستم‌های پویا، چگونگی رشد و تحول را در سیستم‌های طبیعی، سازواره‌ها و تشکیلات بغرنج، مورد مطالعه و بررسی قرار می‌دهد. سیستم‌های انسانی، معمولا همچون سازواره‌ها و سیستم‌های طبیعی، تشکیلاتی سازمان‌مند و بغرنج با اوصاف حیاتی و خصلت‌های رشد و توسعه، محسوب می‌شوند. از این رو بهره‌جویی از مدل‌سازی در فضای برخه‌ای، می‌تواند ابزای توانمند برای پژوهش در سیستم‌های انسانی و سنجه‌های کمّی درخوری برای ارزیابی پدیده‌ها و فرایندهای کیفی، فراهم کند. لذا، ابتدا نظریهٔ فراکتال، چگونگی ایجاد پدیده‌های فراکتالی و مفهوم ابعاد خود همانندی در فضای برخه‌ای معرفی می‌شود. سپس فراکتال‌های تصادفی و نامنتظم، نحوهٔ پیدایش آنها، ارتباط ابعاد برخه‌ای با فرایندهای تصادفی و توابع چگالی طیفی، مفاهیم خود همانندی آماری و خود خویشی ۱۱۷‌، مورد ملاحظه قرار می‌گیرد. آنگاه، توسعه و رشد فراکتالی در سیستم‌های سازمان‌مند و بغرنج، مورد بررسی قرار می‌گیرد و استفاده از آن در توضیح و تفسیر پدیده‌های دگرگونی و تحول تبیین می‌شود.

پدیدهٔ رشد برخه‌ای ۱۸(فراکتالی) و به کارگیری آن در گشایش رموز فرایندهای تحول و توسعه در سیستم‌های پویا، به عنوان دستاوردی شگرف و واپسین در معارف بشر، لبهٔ پیشرو و بر آن مرزهای پویای دانش را تشکیل می‌دهد. این واقعیت، به ویژه از آن جهت، اهمیتی مضاعف می‌یابد که غالبا، فراخنای آشوب ۱۹ و فضای هندسی تحولات آشوبناک، از ماهیت و ابعاد فراکتالی برخوردار است ۲۰؛ و اخیرا، موضوع آشوب در سیستم‌های پویا. به نوبهٔ خود، منزلت پژوهشی وسیع و رفیعی در عرصه‌های مختلف علمی احراز کرده است.۲۱ در واقع، آنگاه که فرایند توسعه، درگذر زمان مطرح باشد، نظریهٔ آشوب، پای در عرصه تحلیل می‌نهد و هنگامی که شکل و شمایل ساختاری رشد و تحول، در فرایندهای آشوبناک، مطمح نظر قرار گیرد هندسهٔ فراکتالی، رخ می‌نماید؛ و این، در حقیقت، هندسه‌ای است که ساختارهای آن به آشوب، نظم می‌بخشد.۲۲ به عبارتی، فضای فراکتالی، همچون «زبانی» و، در توصیف، مدل‌سازی و تحلیل تشکل‌های بغرنج به کار می‌آید؛ لیکن در «زبان سنتی» که براساس فضای اقلیدسی مبتنی است، اجزا و اشکال، مانند خط، دایره و کره، کاملا مرئی و آشنا هستند؛ حال آن که عناصر زبان جدید، تن به مشاهدهٔ مستقیم و ظاهری نمی‌سپارند. این زبان نوپا، عموما متشکل از الگوریتم‌هایی است که توسط رایانه‌ها، به اشکال، ساختارها و شمایل منتظم تبدیل می‌شوند؛ و از آنجا که گنجینهٔ وسیعی از الگوریتم‌ها و روش‌های محاسباتی را دربر می‌گیرد، از گنجایش لازم برای در اختیار نهادن ابزار حلیلی توانمندی برخوردار است ۲۳.

تعداد ابعاد فضا، در هندسهٔ اقلیدسی، همواره عددی صحیح و غیراعشاری است؛ اما در فضای برخه‌ای یا فراکتالی می‌تواند عددی ناصحیح و اعشایر باشد ۲۴. مطالعه پدیده‌های برخوردار از فضای ابعادی برخه‌مند، در سال‌های اخیر، با اقبال شایان توجهی مواجه ‌ بوده و عرصه‌های گوناگونی از فرایندهای فیزیکی، فنی و زیستی را دربر گرفته است. به ویژه، بسیاری از فرایندها و موجودات طبیعی، از خواص لازم برای توصیف و مدل‌بندی در فضای فراکتالی برخوردارند مانند درختان، کوه‌ها، ابرها، خوشه‌ها، هکشان‌ها، توده‌های میکروسپکوی، توده‌های شن، کناره‌ها و ساحل‌ها. همچنین در مواردی، نظریهٔ فراکتال‌ها برای تبیین و توصیف پدیدهٔ رشد، به کار گرفته شده است ۲۵. در روان‌شناسی و علوم رفتاری هم کوشش‌هایی برای بهره‌گیری از نظریهٔ فراکتال، در تدوین مدل‌های کمی رشد و توسعه به عمل آمده است ۲۶‌. بدین ترتیب، در سیستم‌های سازمانی و مدیریتی و پژوهش‌های مرتبط با آن نیز، نظریهٔ فراکتال می‌تواند به کار آید؛ به ویژه آن که با توجه به وجود ساختارهای اتلافی ۲۷، پیدایش آشوب می‌تواند از ابعادی برخه‌مند برخوردار باشد. بنابراین، ابتدا، می‌بایست نظریهٔ فراکتال و فضای برخه‌ای، و مفاهیم مرتبط با آن را از نظر گذرانید.

۴-۲ نظریهٔ فراکتال‌ها و ارتباط آن با هندسه اشکال

برای آشنایی با نظریه فراکتال، مناسب است که به فرایند تکرر (پویه مند ۲۸) در فضا، نظر افکنده شود. تکرّر، فرایندی است که چونان سیستمی، برونداد خود را بازخور می‌کند و آن را به مثابه درونداد تحویل می‌گیرد تا بروندادی جدید پس دهد.۲۹ برای مشاهدهٔ روند هندسی کارکرد چنین رابطهٔ، و به عنوان یک مثال ساده، می‌توان پاره‌خطی را به طول دلخواه در نظر گرفت و آن را به ۳ قسمت مساوی تقسیم کرد؛ قسمت میانی را برداشت و دو انتهای قسمت خالی باقی‌مانده را با دو قسمت که طول هرکدام یک سوم پاره‌خط اولیه است، مانند یک مثلث متساوی الاضلاع، به هم پیوند زد.آنگاه، می‌توان این فرآیند (تابع) را به صورت پیاپی، تکرار کرد (تقسیم هر پاره خط به سه قسمت مساوی، برداشتن قسمت میانی، و پیوند دو انتهای قسمت خالی توسط دو پاره‌خط که طول هرکدام یک سوم پاره‌خط تقسیم شده است). همین فرایند را می‌توان به این طریق نیز تکرار کرد که هر بار، روی قسمت میانی، مربعی بنا نهاد؛ در این صورت، پس از بارها تکرار، تصویری حاصل می‌شود که در پایین شکل زیر نمایش داده شده است. اگر به جای آن که پاره خط اولیه به ۳ قسمت مساوی تقسیم شود، به ۴ پاره‌خط مساوی تقسیم و روی هریک از دو قسمت میانی، مربعی در دو جهت معکوس بنا شود و دو پاره‌خط میانی برداشته و آنگاه فرایند عینا و مکررا، تکرار شود تصویر وسط در شکل زیر نتیجه می‌شود.

(به تصویر صفحه مراجعه شود) هریک از فرایندهای فوق نشان‌گر آن است که چگونه قاعده‌ای بسیار ساده، با تکرار می‌تواند به تصاویری بغرنج با خواصی غیرمعمولی، منجر شود. در هر شکل، مشابهت و همانندی بین قطعات متعدد تشکیل دهندهٔ آن شکل و نیز کل شکل، کاملا جالب توجه است؛ هر قطعه یا هر جزء و نیز در مجموعهٔ آنها، هم شکل و از گونهٔ یکدیگرند؛ و در صورت بزرگ‌نمایی، هر قطعه می‌تواند کل شکل را وانمایاند. این خاصیت به «خودهمانندی» (خودگونگی ۳۰) موسوم است؛ در واقع خودهمانندی یا خودگونگی، خاصیتی را بیان می‌دارد که طبق آن، زیر مجموعه‌ها، در صورت درشت‌نمایی (و مثل قرار گرفتن در زیر ذره‌بین یا دستگاه ریزبین)، عینا مشابه، همسان و همگون با یکدیگر و نیز با کل مجموعه، جلوه‌گر می‌شوند. این خاصیت، از ویژگی‌های هندسهٔ برخه‌ای (فراکتالی) است و برخه‌مندان (فراکتال‌ها) را از اشکال هندسهٔ سنتی (اقلیدسی) متمایز می‌کند؛ زیرا در فضای اقلیدسی، عموما بزرگ‌نمایی می‌تواند موجب هموار نمونی بیشتری شود. به این لحاظ، شکل‌های فراکتالی، با تغییر مقیاس، پایا و ناوردا تلقی می‌شوند. وانگهی، در هر بار تکرار الگوریتم‌ها، شکل فراکتالی ازدیاد طول می‌یابد و در حدّ (بی‌نهایت تکرر و پویه‌گری)، منحنی حاصل، با طول نامحدود (بی‌نهایت)، درگسترهٔ محدود، انباشته می‌شود؛ بدون آن که این منحنی، خود را قطع کند.۳۱ موضوع خود همانندی یا خودگونگی که همانا پایایی در مقیاس را بیان می‌دارد، از مفاهیم بنیادی در هندسهٔ فراکتالی است و با مفهوم ابعاد فضا، ارتباطی تنگاتنگ دارد.۳۲ آنچه تاکنون در ارتباط با خود همانندی ملاحظه شد. جنبهٔ متیقن (دیترمینیستیک)۳۳ دارد و به عبارت دیگر، با به کارگیری روش‌های معین، می‌توان طرح‌های فراکتالی را به دست آورد. به عنوان مثالی دیگر، فراکتال‌های نشان داده شده در شکل زیر را در نظر بگیریم. در هردو دو مورد (تصایور الف و ب) هر قطعه جایگزین شوند، متشکل از ۵ عنصر است.

اکنون شکل بعدی را در نظر بگیریم، ابعاد فراکتالی این طرح نیز، همچون شکل قبل (ب)،۱/۴۶۵ است؛ زیرا باز هم هر قطعهٔ جایگیزن، از پنج عنصر که با نسبت ۱/۳ کوچک‌تر شده‌اند، تشکیل شده است.

(به تصویر صفحه مراجعه شود) لذا اگرچه طرح فراکتالی شکل قبل با طرح موجود در شکل قبل‌تر (ب)، ظاهری متفاوت دارد، ولی بعد فراکتالی هردو یکسان (۱/۴۶۵) است. این قبیل طرح‌های برخه‌ای، فراکتالی تصادفی یا خودهمانندی آماری (خودگونگی آماری یا تصادفی) نامیده می‌شود زیرا شباهت، دقیق نیست و جنبهٔ آماری یا تصادفی دارد. در این موارد، وصف «ناوردایی مقیاسی»۳۴ نیز مصطلح است که غالبا به مفهوم خودهمانندی آماری به کار می‌رود. به هر حال، بایاد توجه داشت که آخرین شکلی که دیدیم، یکی از ساده‌ترین انواع خودهمانندی‌های آماری را نشان می‌دهد؛ مثل جای مربع‌های حذف شده، تنها موردی نیست که می‌تواند تصادفی رخ دهد؛ بلکه تعداد مربع‌ها و حتی نسبت اندازهٔ ابعاد نیز می‌تواند، حول مقداری میانگین، تغییر کند. به این ترتیب، برخلاف طرح‌های فراکتالی متیقّن (دیترمینیستیک) که طی پویش‌های معین حاصل می‌شود، تشخیص خودهمانندی آماری برای فراکتال‌های تصادفی و پدیده‌های نامنظم به سادگی امکان‌پذیر نیست و مستلزم به کارگیری روش‌های خاص است ۳۵.

۴-۲-۱ پدیده‌های فراکتالی تصادفی و نامنتظم

گام‌های تصادفی ۳۶ که حرکت برونی ۳۷ یا فرایند وینر ۳۸ نامیده می‌شود و در رشته‌های مختلف علوم، کاربرد فراوان دارد. حرکت برونی خرد یا گامک‌هایی تصادفی، الگوی ریاضی بسیار مناسبی برای مدل‌سازی فراکتال‌های تصادفی و برخه‌مندان نامنتظم در اختیار می‌گذارد و به این طریق بسیاری از پدیده‌های فراکتالی موجود در طبیعت (مانند کوه‌ها، ابرها، سواحل و…)، مدل‌بندی و شبیه‌سازی می‌شوند ۳۹. در مورد پدیده‌های فراکتالی تصادفی و نامنتظم، موضوع خود همانندی، با آنچه که بیشتر (به عنوان خودهمانندی دقیق یا آماری) مطرح شد، می‌تواند متفاوت باشد. در خاصیت خود همانندی، در اثر درشت‌نمایی، شکل‌ها (به طور دقیق یا آماری) تکرار می‌شوند؛ حال آن که، در فراکتال‌های تصادفی و نامنتظم، تکرار آماری فقط هنگامی می‌تواند امکان‌پذیر شود که درشت‌نمایی در ابعاد مختلف، به اندازه‌های متفاوت انجام گیرد. بنابراین، خود همانندی عبارت است از ناوردایی خواص هندسی در نتیجهٔ تغییرات همان در مقیاس، در حالی که خودخویشی یا خودخویشاوندی، ناوردایی مقیاسی را فقط آنگاه محفوظ می‌دارد و بروز می‌دهد که تغییرات مقیاس به عنوان تابعی از بعد یا جهت (مختصات) صورت پذیرد.۴۰ آنچه ملاحظه شد، نهایتا مبین آن است که در پدیده‌های فراکتالی، اجزای تشکیل دهنده، هریک مشابه یکدیگر و مشابه کل پدیده هستند. در پدیده‌های متیقن (دیترمینستیک)، این خاصیت به خود همانندی موسوم است. چنانچه تشابهات موردنظر، در برخی نقاط، به طور برجسته گریخته، پراکندگی‌های تصادفی بروز دهند (پدیده‌های تصادفی)، خود همانندی آماری، مطرح می‌شود. وانگهی، اگر بعضی اجزای پدیده، دارای اعوجاج، اریب یا کژی باشند، و به عبارت دیگر، در جهات مختلف به نسبت‌های متفاوت، تغییر نشان دهند، خاصیت خودخویشی (خود خویشاوندی) بارز می‌شود.۴۱

۴-۳ توسعه و رشد فراکتالی

هر فرایند یا پدیده‌ای که در گذر زمان، دگرگونی و تحول حاصل کند، سیستمی پویا تشکیل ‌ می‌دهد؛ رشد و توسعه، به عنوان خصلتی عمومی و بارز، از اهم این تغییر و تبدیلات محسوب می‌شود و دستکم در دورانی از تحولات سیستم‌های پویا جلوه‌گر می‌شود و غالبا تحت تأثیر فراگردهای بازخوران مثبت رخ می‌نماید. پدیدارهای فراکتالی موجود در طبیعت نیز، عموما، محصول فرایندهای رشد و توسعه هستند و اختصاص، روشی ویژه تت عنوان سیستم‌های «ال»۴۲ یا سیستم‌های «لیندرنمایر»۴۳ برای تبیین و توصیف پدیده‌های توسعه و رشد طبیعی، تخصیص یافته است ۴۴. در این روش، برای تبیین توسعهٔ فراکتالی در گذر زمان، دو شیوهٔ مدل‌سازی، یکی الگوهای فرسایشی، برای پدیده‌های فراکتالی تحلیل رونده (مانند کوه‌ها)، و دیگری الگوهای تکاملی، برای پدیدارهای فراکتالی گسترش یابنده (مانند گیاهان و درختان)، به کار می‌رود. به هر حال، بین فرایند رشد و توسعه از یک سو و شکل و شمایل از دیگر سو، همواره ارتباطی قوی وجود دارد و نرخ رشد در این ارتباط تعیین کننده است؛ ایجاد شکل، از نظر ریاضی، تابعی از زمان است و در واقع، شکل یا سازواره، صرفا پیکره‌ای فضایی نیست، بلکه به عنوان واقعه‌ای در فضا-زمان، قابل تلقی است ۴۵‌. الگوی سیستم «ال» که به سیستم «بازنوشت موازی»۴۶ نیز موسوم است، اساس بر این نظریه استوار است که توسعهٔ یک سازواره می‌تواند به عنوان اجرای (مکرر) یک برنامهٔ توسعهٔ موجود در هستهٔ اولیه (تخمک بارور شده) نگریسته شود و سازوارهٔ توسعه یابنده، مجموعه‌ای پوا از خودکاره‌های متناهی را تشکیل می‌دهد که به طر زمناسب برنامه‌ریزی شده‌اند…

هندسه فراکتال، هندسه کل عالم ماده است یعنی هندسه‌ای‌ست که اعضای موجودات زنده، موجودات تک سلولی و حتی موجودات پیچیده‌ای مثل ما از این هندسه تبعیت می‌کنند تا موجودات غیر زنده…حتی به قول فیلسوف‌ها جماد هم از این فلسفه تبعیت می‌کنند، یعنی این ساختار مولکولی‌ها و اتم را نیز دربر می‌گیرد. و این شکل‌ها را عموما فراکتالی می‌نامند. البته آن اجزای ساده اولیه را گرافتال می‌گویند اگر آن گرافتال‌ها در خود مدام تکرار شوند، نهایتا شکل حاصل را فراکتال می‌گویند. برحسب تحقیقات انجام شده روی هندسه نقوش اسلامی، هندسه اسلیمی‌ها، خطایی‌ها و گره‌های هندسی، بر ما اثبات شد که دقیقا انطباق دارند به هندسه فراکتالی…نکته جالب در اینجا، این مورد است که چیزی را که علم در قرن بیست و یکم به طور محاسباتی بر آن اشراف پیدا کرده است، هنرمندان ایرانی از راه حس، هزار سال پیش، به آن دست یافتند و این مرد در موسیقی و معماری ایرانی نیز مشهود است. در حال حاضر در تمام رشته‌های فیزیک، مانند فیزیک الکتریسیته و امواج، بحث فراکتال ریشه دوانیده است. همچنین در فیزیک نوین بخشی پایه‌گذاری شده است به نام نظریهٔ ک آ س یا نظریهٔ آشوب. این نظریه مبنای بیشتر محاسبات ابروبادهای سنتی- دویدن چند رنگ درهم-و آن ردهای لطیف و منحنی که با یک معادله درهم تکرار می‌شوند و یک شکل کاملا فراکتالی را به وجود می‌آورد، اثبات می‌کند.

ما در فراکتال‌گرایی به یک مبنای فلسفی و جهان‌بینی می‌رسیم و جهان‌بینی فراکتالی، یکی شدن و وحدت است، وحدت علوم، هنرها و وجود. آنچه که هست همه یک چیز است و پرتوهای مختلف از یک چیز و یک قاعده کلی بر آنها حاکم است. هندسه فراکتال این را اثبات می‌کند که عدد بی‌نهایت که بشر این همه به دنبال آن است، عدد یک است. احدیت در عین بی‌نهایت بودن و کثیر بودن، در عین حال وحدت است. هندسه اقلیدسی زمانی بر نگرش بشر حاکم بود. ایده‌های مسطح دیدن و منظم دیدن، مرتفع دیدن، جهان خی و جهان عددی فیثاغورس که خیلی منظم و مرتب بود توسط بزرگانی مثل ریمن و لواچوفسکی در هندسه نااقلیدسی تغییر ساختار پیدا و نگاه بشر به جهان شکل دیگری پیدا کرد؛ یک شکل غیرمسطح، غیرمنظم، و فراکتالیسم هم در حقیقت، دیدگاه همین بی‌نظمی‌ها در عالم است. همانطور که پست مدرنیسم در حقیقت ساختارشکنی مدرنیسم است و خروج انسان از سیستم، نظم و حتی عقلانیت را اشاعه می‌دهد، فراکتالیسم در حقیقت خروج از دیدگاه‌های منظم، مشخص و معین است. در واقع هنر نگارگری که در حقیقت نگاره‌گری‌ست، تصور و دید ما را نسبت به جهان خارج بیان می‌کند، نه جهان خارج را به ما. یعنی در حقیقت نقاش نگاره‌گر، خودش را بیان می‌کند و از برداشت، دید و میل خود نسبت به جهان خارج می‌گوید. انسان با جهان‌های خوشد زندگی می‌کند، نه با عینیت‌های خارجی. به قول میت گن اشتین ۴۷ نگاه ما، اشیاء را آنگونه که می‌خواهیم به ما می‌نمایاند. مثل اگر چهار خط را در تابلویی بکشیم، آن خطوط در نظر بیننده به چیزهای متفاوتی تعبیر می‌شود. عده‌ای آنرا سطح، فرش، تابلو و یا مستطیل تصور می‌کنند. عده‌ای در همان لحظه ممکن است به یاد پاکن‌شان بیفتد که جلوی میزشان است…دقیقا همین دیدگاه راجع به کثرت وحدت عالم مطرح است. یک دیدگاه قوی فلسفی هست که می‌گوید کثرات عالم، خیال و وهم است و آنچه که حاکم است، وحدت است. ایده‌ای که مطرح شد باز بیانگر این است که تصور ما از جهان خارجی، ذهنی است.

۴.۴. بررسی وجوه مشباهت هندسهٔ فراکتالی با نقوش اسلامی

(به تصویر صفحه مراجعه شود) همان‌طور که می‌دانی دنقوش اسلامی دارای قوهٔ تجریدی و یا آبستراکسیون است. «بورکهارت» در کتاب هنر مقدس بر این مضمون تأکید داشته و در توصیف علت آن به ذک این نکته می‌پردازد که: «هنرمند مسلمان وجه ظاهر امور و موضوعات را در شأن حضور و ظهور امر قدسی نمی‌داند ۴۸». اشارهٔ فوق به علت تجرید نزد هنرمندان مسلمان به تعبیری صحت دارد. زیرا آنها درگیر محادثه با وجه قدسی اشیاء که نسبت به عالم فانی بیگانه است بوده و به هم سخنی و دیدار با عیون ثابتهٔ مشهودات به اعتبار «ماشممت رایجه من الموجود» می‌پرداخته‌اند. این وجوه از موجودیت خود بی‌خبر افتاده و در نسبت عدمی با عالم ناسوت به تمامی رو به سمت مصدر اسماء الهیه گردانیده و لذا هنرمند در تلاش برای از پرده برون انداختن آنها ناگزیر است تا به عالم مجرد آنها قدم بگذارد. قصد داریم تا نشان بدهیم این تجرید قابل انطباق با آن قانون اساسی است که موجود را از عدم و نیستی فرا می‌آورد. مجددا از بورکهارت مثال می‌آوریم: «در اینجا باید وجه تمایز میان هنر انتزاعی اسلام و «هنر انتزاعی» جدید را خاطر نشان کنیم. هنرمندان جدید در «انتزاع» جوابی بی‌واسطه‌تر و سیال‌تر (و در عین حال سهل و ممتنع‌تر) و فردی‌تر برای تکانه‌های غیرعقلانی که از ناخودآگاه بر می‌خیزد، می‌یابند. از لحاظ هنرمند مسلمان برعکس، هنر انتزاعی بیانگر قانونی است و به مستقیم‌ترین وجه، وحدت در کثرت را نمودار می‌سازد»۴۹. قصد دارم «قانون» در عبارت فوق را با قوانین فرکتال به خصوص قانون سادهٔ قابل تکثر آن در تناظر و تشابه فرض کنم. برای شرح بیشتر، اوصاف هندسهٔ فراکتالی را با آثار هنری و ابداعات هنرمندان مسلمان مطابقت می‌دهیم:

-هندسهٔ نقوش اسلامی خود مشابه است. مثلا در مقرنس‌های مساجد، تمامی شمای مقرنس کاری را می‌توان به نحوی در تکه‌های متشکله آن بازجست.

-نقوش اسلامی دارای اجزای بی‌نهایت نیست ولی تلاش هنرمند تا حد امکان در پرداختن به ریزه‌کاری‌ها و اجزای بیشتر و بیشتر بوده و لذا اگرچه این وجه به لحاظ محدودیت‌های مادی دقیقا مشابه هندسی فراکتالی نیست ولی تعلق به اجزاء و ریزه‌کاری‌ها را در ابداعات هنرمندان مسلمان توجیه می‌کند.

-نقوش اسلامی دارای rotcarttA است و در واقع (و با توجه به توضیح فوق) هرگاه هنرمند به ‌ شکل نهایی شژ مورد طراحی نزدیک می‌شود، دست از ریزه‌کاری‌های بیشتر بر می‌دارد ولی بصر بیننده را با تمهیداتی به سمت القای اجزای بی‌نهایت در اثر خود هدایت می‌کند.

-ضمن این که در نقوش اسلامی lleC‌-tinU‌ هایی (مانند فرکتال‌ها) وجود دارد که هنرمند با تکرار آنها در کنار هم مداما به خود و به ما تذکر می‌دهد.

-هندسهٔ اسلامی نیز مانند هندسهٔ فراکتال از یک rotaitinL‌ ۵۰ و یک قانون تکاثر برخوردار است.

-در قسمت اول این بخش به اهمیت دو بعدی بودن نقوش نزد هنر اسلامی اشاره کردیم. ب

همان‌طورکه مشاهده می‌شود، نقش دوبعدی بالایی مشابه نقوش اسلامی است (کافی است آنرا در کنار هم تکثیر کنید تا به نقش روی گنبد حضرت شاه نعمت اللّه ولی برسید) که با تغییر کوچکی در tnioP noitcejorP و سطوح تکثری آن به شکل یک درخت خواهیم رسید. پس در واقع می‌توان گفت که هنرمند مسلمان اگرچه تجرید را به ما می‌نمایاند ولی هیولا و مادهٔ خام اثر خود را از عالم ناسوت برگرفت‍۸ ه و آن را به عوامل قدسی رسوخ می‌دهد.

جمع‌بندی

توجه به نزدیکی هنر مقدس اسلامی به نحله‌های جدید علمی می‌تواند محرک مناسبی برای حوزه‌های جدید تحقیق باشد و این از دو لحاظ قابل بررسی است:

  1. تفهیم عمیق‌تر و رسوخ به معانی تحقیقات حاضر: به عنوان مثال مجددا از بورکهارت مثال می‌آوریم: «طاقگان حیاطی در قصر الحمراء چنین می‌کند که از ارتعاشات نور، تنیده شده‌اند. بسان نوری بلورین‌اند و حتی می‌توان گفت که جوهر باطنیشان سنگ نیست، بلکه نور الهی است، عقل خلاقه است»۵۱. مشاهده می‌کنید که فهم متن فوق برای کسی که با teksaG ها ۵۲ در هندسهٔ فراکتالی آشنا باشد، بسیار ملموس‌تر خواهد بود.
  2. نقد مواردی که بدون چنین ارجاعاتی بدون اثبات و یا رد باقی خواهد ماند: برای ایراد مثالی در این باب مجددا همان کتاب را خواهیم خواند: «به یقین خاطره‌هایی از اثاثیهٔ چادرنشین که مشتمل بر قالی و چادر بود در مقرنس‌هایی طاق‌ها و قوس‌ها باقی مانده است»۵۳.

توجه می‌کنید که وی با چه اطمینانی از تأثیر چنین خاطره‌هایی و نسبت دادن مقرنس‌ها به فرهنگ چادرنشینی سخن می‌راند. مسلما با توجه به اشکال زیر و مقایسه میان مقرنس‌ها و هندسهٔ رشد سلول‌ها در انسان و گیاهان به متن فوق شک خواهیم کرد.

در پایان مجموعهٔ دیگری از مشابهت‌های میان نقوش (به خصوص نقوش اسلامی) و منتجات هندسهٔ فراکتالی در مجموعهٔ کوچکی از اشکال فراهم آمده است. بدیهی است که متن حاضر به دلیل جدی دبودن جای بحث فراوانی را برای خود گشوده نگاه می‌دارد و نگارنده تنها امید دارد که این بحث بتواند محرک نقد و تجربه‌هایی تازه‌تر در این زمینه شود.

 

ارسال یک پاسخ

آدرس ایمیل شما منتشر نخواهد شد.