گوگل و آخرین قضیه فرما

گوگل امروز، لوگوی خود را به مناسبت سالگرد تولد پیر دو فرما به صورت زیر تغییر داده است:

بسیاری از شماها ممکن است، با دیدن این لوگو، اصلا رغبت نکنید با کلیک‌ها و جستجوهایی مسئله را دنبال کنید، آخر سر درآوردن از زندگینامه یک ریاضیدان فرانسوی که سال 1665 درگذشته، چه فایده‌ای دارد. اما شاید اگر پست زیر را بخوانید و با داستان فرما و آخرین قضیه‌اش آشنا شوید، نظرتان عوض شود و دریابید که گوگل، بی‌جهت، لوگوی اختصاصی در بزرگداشت کسی درج نمی‌کند!

به محض دیدن این لوگو ذهنم رفت به سال‌های دهه شصت و تابستان سال 65! تابستانی گرم، کتابخانه عمومی و دکه روزنامه فروشی.
آدم، وقتی کودک است مطالب خیلی محکم و پاک‌نشدنی در مغزش حک می‌شوند، به همین خاطر تا نام فرما را شنیدم، بلافاصله در ذهنم مقاله‌ای تداعی شد که آن زمان در مجله دانشمند خوانده بودم. مقاله را مرحوم احمد آرام نوشته بود. البته بدیهی است که یک پسربچه نه ساله چیز زیادی از مقاله نمی‌فهمید ولی خوب، دست کم از آن مقاله چهره فرما و اینکه قضیه‌ ریاضی‌ای دارد که سال‌های سال کسی نتوانسته آن را حل کند، کاملا ذهنم بود. سال‌ها بعد جایی خواندم که قضیه حل شده است ولی خوب هیچ وقت خبر کاملی در مورد آن نخوانده بودم و تا امروز هم اطمینان نداشتم که قضیه فرما حل شده است.

لوگوی امروز گوگل باعث شد که بعد از سال‌ها جستجویی کنم، ببینم چه بر سر آخرین قضیه فرما آمده است!

اما داستان آخرین قضیه فرما چیست؟
پی‌یر دو فِرما (Pierre de Fermat) در سال ۱۶۰۱ در نزدیکی مونتابن (Montauban) فرانسه متولد شد. او فرزند یک تاجر چرم بود و تحصیلات اولیه خود را در منزل گذراند. سپس برای احراز پست قضاوت به تحصیل حقوق پرداخت و بعدها به‌عنوان مشاور در پارلمان محلی شهر تولوز انتخاب شد.

فِرما، اما علاقه زیادی به ریاضیات داشت و  پدر نظریه اعداد جدید به شمار می‌رود. وی همچون بسیاری از دانشمندان دیگر همزمان خود به مطالعه کتاب‌های علمی قدیمی اشتغال داشت.  او در نظریه اعداد از کتاب ریاضیدان یوناین، دیوفانتوس، به نام اریتمِتیکا یعنی علم حساب الهام می‌گرفت. این کتاب در قرن شانزدهم توسط اروپاییان بعد از گذشت سالیان زیاد کشف شده بود.

فرما، حواشی فراوانی بر نسخه ارتماتیکای خود نوشته بود و پس از مرگش در سال 1665، پسرش چاپ تازه‌ای از این کتاب را با این حواشی منتشر کرد. یکی از این حواشی به صورت یکی از گفته‌های مشهور در تاریخ ریاضیات درآمده است:

پس از بیان مسئله مربوط به یافتن اعداد مربعی که حاصل دو عدد مربع دیگر هستند (همچون 25 که حاصل جمع 9 و 16 است)، ترجمه حاشیه لاتینی نوشته‌شده به دست فرما بر کتاب چنین است:
«از سوی دیگر غیرممکن است که عدد مکعبی حاصل جمع دو عدد مکعب دیگر باشد و یک توان چهارم مجموع دو توان چهارم یا به صورت کلی هر عددی که به توانی بزرگ‌تر از دو رسیده است جاصل جمع دو عدد باشد که هر دو به آن توان رسیده‌اند. من راه‌حلی واقعا شگفت‌انگیز، برای این قضیه کشف کرده‌ام که این حاشیه برای نوشتن آن کفایبت نمی‌کند.»

این قضیه به نام آخرین قضیه فرما مشهور شد و با ان که ریاضیدانان سه قرن، برای اثبات آن کوشیده بوند، تا پانزده شانزده سال پیش، کسی نتوانسته بود، آن را اثبات کند.

سال‌های زیادی، قصیه فرما به صورت یکی از مسائل بزرگ حل‌ناشده ریاضیان نوین درآمد.

اما آیا فرما -ریاضیدانی فوق‌العاده‌ای که در تأسیس هندسه تحیلی (با دکارت) و حساب انتگرال و دیفرانسیل (با لاییبنیتس و نیوتون) و حساب احتمالات (با پاسکال) سهیم بوده- حقیقتا «راه حلی واقعا شگفت‌انگیز» برای این قضیه کشف کرده بود؟؟

در راه اثبات قضیه در طی سالیان دراز ریاضیدانانی مثل اویلر، سوفی ژرمن، لژاندر، لامه و دیریکله تلاش کردند، اما آنها فقط روی حالات خاض این قضیه کار کردند.

با وجود جوایزی که برای حل مساله فرما گذاشته شده بود، این قضیه، همچنان حل نشده باقی ماند و رکورددار بیشترین اثباتهای غلط شد. مثلاً بیش از ۱۰۰۰ اثبات غلط در بین سالهای ۱۹۰۸ تا ۱۹۱۲ منتشر گردید.

داستان اثبات آخرین قضیه فرما
فصل پایانی داستان قضیه آخر فرما در سال ۱۹۵۵ آغاز گردید. یوتاکا تانیاما آغازگر این حرکت اساسی بود. وی حدسی را بوجود آورد که به حدس شیمورا-تانیاما-ویل مشهور گردید. این حدس حاکی است که هر خم بیضوی را که بر اعداد گویا تعریف می‌شود، می‌توان به وسیلهٔ توابع پیمانه‌ای بیضوی، پارامتری کرد. در سال ۱۹۸۶، ارتباطی بین حدس شیمورا-تانیاما-ویل و قضیهٔ آخر فرما توسط فری و سر ایجاد شد. در همین دهه کن ریبت، بر اساس کارهای انجام شده توسط سر، نشان داد که قضیه آخر فرما از حدس شیمورا-تاناما-ویل نتیجه می‌شود.

کنجکاوی دوران کودکی، انگیزه‌ای برای حل قضیه فرما در بزرگسالی
اندرو جان وایلز (Andrew John Wiles) در ۱۱ آوریل ۱۹۵۳ در کمبریج انگلستان به دنیا آمد. علاقهٔ او به قضیهٔ فرما زمانی که او کودکی ده ساله بود شدت گرفت. او در این باره می‌گوید:
«من ده ساله بودم که روزی در کتابخانه‌ای عمومی یک کتاب ریاضی پیدا کردم. در این کتاب مطالب تاریخی بسیاری دربارهٔ مساله‌ای آمده بود. من در حالی که فقط ده سالم بود، صورت آن مسأله را فهمیدم و سعی کردم آن را ثابت کنم. مسالهٔ جالبی بود. این مساله همان قضیهٔ آخر فرما بود!»

اندرو وایلز در دهه ۱۹۸۰ به دانشگاه پرینستون رفت. وی پس از شروع کار روی قضیه فرما تقریباً تحقیقات دیگرش را کنار گذاشت. تنها کسی که از کار کردن وایلز روی قضیه آخر فرما اطلاع داشت، همسرش بود.

سرانجام در سال 1993، وایلز در تنهایی اتاق خودش به به اثبات حالت خاصی از حدس شیمورا-تانیاما-ویل و قضیه آخر فرما موفق شد و در حالی که از اشتیاق نزدیک شدن به حل مساله فراموش کرده بود که از اتاق بیرون بیاید و ناهار بخورد، در عصر یک روز بهاری مساله را حل کرد.

وایلز در این باره می‌گوید:
« … این مهم‌ترین لحظهٔ زندگی کاری من بود. چیزی که ممکن است هرگز دوباره تکرار  نشود!… پس از اتمام کار، حدود بیست دقیقه گیج بودم. سپس در طول روز در دانشکده قدم می‌زدم. وقتی به پشت میزم برگشتم، آنرا همانجا دیدم! هنوز همانجا بود !!…»

وایلز ترتیبی داد که اعلام کنند او در سه جلسه می خواهد حل مساله  تانیاما-شیمورا رو ارائه دهد. هیچ کس در آن موقع اطلاع نداشت که این مساله ربطی به قضیه فرما دارد. در انتهای جلسه سوم، حضار به آهستگی متوجه ارتباط این دو مسإله و کشف عظیم وایلز شدند. بعد از اثبات مساله اول، وایلز فقط صورت مساله قضیه ی فرما رو روی تخته نوشت و گفت:‌ «فکر می‌کنم تا همین جا بس باشه!»

وایلز با حل این مساله سریعا به عنوان یکی از معروف‌ترین ریاضیدان‌های زمان خود شناخته شد. گرچه ایرادهایی در حل مسأله بود و وایلز نیاز به دو سال دیگه برای تکمیل اثبات قضیه داشت، ولی نهایتا در سال 1995، یعنی بعد از گذر بیش از 350 سال از مطرح شدن قضیه، با مقاله‌ای تحت عنوان «خمهای بیضوی و پیمانه‌ای و قضیه آخر فرما»، قضیه را رسما اثبات کرد.

سیل تبریک‌ها و جوایز مختلف از سال ۱۹۹۵ به بعد به سوی او جاری شد، در حالی که در طول سال‌ها تلاشش برای اثبات قضیه فرما، به خاطر ترک تحقیقات دیگر و کمرنگ شدن کارش مورد سرزنش و مؤاخذه قرار گرفته بود!

واضح است که حلی که فرما در ابتدا ادعا کرده بود بزرگ‌تر از آن است که در حاشیه ی کتاب جا شود، این حل نبوده است. چرا که روش‌های استفاده شده توسط وایلز در زمان فرما هنوز وجود نداشتند. معمای تاریخی همچنان باقی است! هرگز معلوم نخواهد شد که حل فرما چه بوده است؛ آیا راهی ساده‌تر برای حل این مساله وجود دارد که صدها سال به ذهن کسی نرسیده است؟ و یا آن که فرما هم مانند بسیاری از ریاضیدان‌های پس از خودش، راه حلی ناصحیح از مساله داشته است!

متن کامل حل قضیه فرما را در 109 صفحه می‌توانید از این لینک دانلود کنید.

منابع: شماره 274 مجله دانشمند و ویکی‌پدیا