پارادوکسی در قلب ریاضیات: قضیه ناتمامیت گودل
در منطق ریاضی، قضایای ناتمامیت گودل، توسط کورت گودل در سال ۱۹۳۱ ثابت شدند. این قضایا در منطق ریاضی و فلسفهٔ ریاضی از اهمیت بسزایی برخوردارند و دلیل اصلی این اهمیت، رد برنامهٔ هیلبرت برای یافتن مجموعه‌ای کامل و سازگار از اصول موضوع برای کل ریاضیات است.
مارکوس دو سوتوی
جمله‌ی زیر را در نظر بگیرید: «این گزاره غلط است.» آیا این جمله درست است؟ اگر اینطور باشد، یعنی گزاره غلط است. اما اگر غلط باشد، پس گزاره درست است. چون گزاره مستقیماً به خودش اشاره می‌کند، یک پارادوکس حل‌نشدنی ایجاد می‌کند. خب اگر درست نیست و غلط هم نیست — پس چیست؟ این سؤال شاید مثل یک آزمایش فکری احمقانه به نظر برسد. اما در اوایل قرن ۲۰ موجب شد منطق‌دان اتریشی کورت گودل چیزی را کشف کند که ریاضیات را برای همیشه تغییر داد.
کشف گودل به محدودیت‌های اثبات ریاضی مربوط بود. اثبات، یک استدلال منطقی است که نشان می‌دهد چرا یک گزاره در مورد اعداد درست است. اجزای سازنده‌ی این استدلال‌ها، اصول نام دارند— گزاره‌های انکارناپذیر در مورد اعداد موردنظر. هر دستگاهی که بر پایه‌ی ریاضیات ساخته شده، از پیچیده‌ترین اثبات تا حساب مقدماتی، از اصول تشکیل شده است. و اگر گزاره‌ای در مورد اعداد درست باشد، ریاضی‌دانان باید قادر باشند آن را با یک اثبات اصولی تأیید کنند.
از زمان یونان باستان، ریاضی‌دانان از این دستگاه استفاده کردند تا ادعاهای ریاضی را با قطعیت کامل اثبات یا رد کنند. اما وقتی گودل وارد میدان شد، چند پارادوکس منطقی تازه کشف شده، آن قطعیت را زیر سؤال می‌بردند. ریاضی‌دانان برجسته اشتیاق داشند که ثابت کنند ریاضیات هیچ تناقضی ندارد. خودِ گودل آنقدر مطمئن نبود. و حتی اطمینان کمتری داشت که ریاضیات ابزار درستی برای بررسی این مسأله باشد.
در حالی که ایجاد یک پارادوکسِ خود ارجاع با کلمات نسبتاً ساده است، اعداد معمولاً در مورد خودشان صحبت نمی‌کنند. یک گزاره‌ی ریاضی به سادگی درست یا غلط است. اما گودل ایده‌ای داشت. اول، او گزاره‌های ریاضی و معادلات را به کدهای عددی تبدیل کرد تا یک ایده پیچیده ریاضی را بتوان به سادگی با یک عدد بیان کرد. این بدان معنا بود که گزاره‌های ریاضی نوشته‌شده با آن اعداد چیزی هم در مورد گزاره‌های کدگذاری شده ریاضیات بیان می‌کردند. به این ترتیب، کدگذاری به ریاضیات امکانِ صحبت کردند در مورد خودش را می‌داد. با این روش، او توانست بنویسد: «این عبارت نمی‌تواند اثبات شود» به صورت یک معادله، که نخستین گزاره ریاضیِ خود ارجاع را درست کرد.
البته، بر خلاف جمله‌ی مبهمی که الهام‌بخش او بود، گزاره‌های ریاضی باید درست یا غلط باشند. پس کدام یک از آنها بود؟ اگر غلط باشد، یعنی برای آن گزاره یک اثبات وجود دارد. اما اگر یک گزاره‌ی ریاضی اثبات داشته باشد، پس باید درست باشد. این تناقض به این معنی بود که گزاره‌ی گودل نمی‌توانست غلط باشد، و بنابراین باید درست باشد که «این گزاره نمی‌تواند اثبات شود». با این حال، نتیجه‌اش شگفت‌آورتر است، چون به این معناست که حالا یک معادله‌ی ریاضی صحیح داریم که ادعا می‌کند نمی‌تواند اثبات شود.
این کشف، اساس قضیه ناتمامیت گودل است، که گونه‌ی کاملاً جدیدی از گزاره‌های ریاضی را معرفی می‌کند. در پارادایم گودل، گزاره‌ها همچنان می‌توانند درست یا غلط باشند، اما گزاره‌های درست می‌توانند اثبات‌پذیر یا اثبات‌ناپذیر باشند در چارچوب یک مجموعه مشخص از اصول. همچنین، گودل استدلال می‌کند که این گزاره‌های درست اثبات‌نشدنی در هر دستگاه اصولی وجود دارند. این باعث می‌شود ایجاد کردن یک دستگاه کامل با استفاده از ریاضیات غیرممکن باشد، چون همواره گزاره‌های درستی وجود خواهند داشت که نمی‌توانیم اثباتشان کنیم. حتی اگر این گزاره‌های اثبات‌ناپذیر را حساب کنید با اضافه کردن آنها به عنوان اصول جدید به یک دستگاه ریاضی گسترش‌یافته، آن فرآیند خودش گزاره‌های درست اثبات‌ناپذیر جدید ایجاد می‌کند. مهم نیست چند اصل اضافه کنید، همواره گزاره‌های درست اثبات‌ناپذیر در دستگاه‌تان وجود دارد. همیشه در نهایت به گودل‌ها می‌رسید!
این کشف، بنیان‌های این حوزه را لرزاند، و افرادی که فکر می‌کردند تمام ادعاهای ریاضی روزی اثبات یا رد می‌شود را در هم شکست. در حالی که بیشتر ریاضی‌دانان این واقعیت جدید را پذیرفتند، برخی مخالف جدی آن بودند. دیگران هنوز تلاش می‌کردند این شکاف تازه کشف شده در قلب رشته خود را نادیده بگیرند. اما از آنجایی که مسائل کلاسیک بیشتری ثابت شده بودند تا درست اثبات‌ناپذیر باشند، بعضی‌ها نگران شدند که کارهای طول عمرشان هیچ وقت کامل نشوند. با این حال، قضایای گودل همانقدر که درهایی را بست، درهایی را باز کرد. دانش گزاره‌های درست اثبات‌ناپذیر الهام‌بخش نوآوری‌های کلیدی در کامپیوترهای اولیه بود. و امروزه، برخی از ریاضی‌دانان شغلشان را وقفِ شناسایی گزاره‌های اثبات‌ناپذیر قابل اثبات کرده‌اند. پس در حالی که شاید ریاضی‌دانان کمی از قطعیت را از دست داده باشند، به لطف گودل، آنها می‌توانند ناشناخته‌ها را در قلبِ هر جستجویی برای حقیقت، بپذیرند.
