انتگرال به چه درد زندگی می‌خورد؟
حساب دیفرانسیل و انتگرال، یکی از مهمترین مفاهیم و البته کشفیات ریاضیات در تاریخ است، شاید بی‌راه نباشد که بگوییم، بیشتر پیشرفت‌های علمی بشر در حدود ۳۵۰ سال اخیر، به شکلی به حساب دیفرانسیل و انتگرال مربوط است.
اگر هندسه را علم مطالعه اشکال بدانیم، جبر را مطالعه اعداد و یافتن قوانین عمومی در حساب بدانیم، دیفرانسیل و انتگرال را هم می‌توان علم مطالعه حرکت مداوم اجسام دانست. هرجا حرکتی وجود داشته باشد، از حرکت مولکولی، تا حرکت سیارات، پای حساب دیفرانسیل و انتگرال وسط می‌آید. زندگی بدون حرکت، سرعت، افزایش، کاهش، و هرگونه تغییری مفهومی ندارد، و راه اندازه گیری و درک این حرکات، با حساب دیفرانسیل و انتگرال ممکن است.
انتگرال چیست؟
فرض کنید، می‌خواهید بدانید برای پر کردن یک استخر چقدر آب نیاز دارید. اگر عمق استخر شما ثابت باشد، یعنی بخش کم عمق و عمیق نداشته باشد، با ضرب طول و عرض و عمق، جواب سوالتان را پیدا می‌کند (مثل پیدا کردن حجم یک مکعب مربع). اما اگر کف استخر شما، با حالتی قوس دار از کم عمق به عمیق برود، آنوقت، محاسبه حجم دقیق آن با ضرب و تقسیم ممکن نیست. و بدون محاسبه هم ساختنش ایمن نیست، چون باید بدانید که چقدر آب قرار است در استخر باشد و چه وزنی خواهد داشت و چقدر باید کف و دیوارهای استخر را مقاوم کنید.
محاسبه حجم آب چنین استخری، تنها با انتگرال ممکن است. انتگرال اینطور کار می‌کند که استخر را به برش‌های نازکی تقسیم می‌کند. حجم هر برش، برابر است با طول (اینجا عمق استخر) ضرب در عرض (اینجا عرض استخر) و ضخامت برش (که بسیار کم است). با کم کردن ضخامت این برش‌ها؛ می‌توان استخر را به هزاران برش کوچک تقسیم کرد، حالا دیگر اندازه گرفتن حجم این برش‌های کوچک آسان است، و با جمع آنها با هم، حجم کل استخر به دست می‌آید.
اگر مثال استخر و تصویر بالا برایتان نامفهوم است، یک رول بزرگ کالباس را تجسم کنید. شبیه استوانه است و محاسبه حجم استوانه آسان است، اما سر و ته کالباس باریک می‌شود و شاید حتی شکل متقارنی هم نداشته باشد. برای محاسبه حجم این رول کالباس، کافی است آن را ورقه ورقه کنید. بعد حجم ورقه‌ها را اندازه بگیرید (هرکدام یک دایره است با ضخامت بسیار کم مثلا چند میلیمتر، مثل یک استوانه خیلی کم عمق) بعد حجم همه این ورقه‌ها را باهم جمع کنید. حاصل حجم کل رول کالباس شما است. انتگرال همین کار را می‌کند، البته بدون نیاز به چاقو، فقط با قلم و کاغذ و البته این روزها کامپیوتر.
اگر علاقه دارید بیشتر درباره تاریخچه انتگرال و تولدش بدانید، به خواندن ادامه دهید.
داستان انتگرال در تاریخ ریاضیات، در آغاز با سوالی ساده شروع شد. چطور می‌شود شیب یک خط را اندازه گرفت؟
امروز شما می‌توانید به راحتی، شیب یک خیابان را اندازه بگیرید، کافی است بدانید که برای هر قدمی که به جلو بر می‌دارید، چقدر بالا می‌روید. مثلا اگر در یک خیابان، هر یک متر که جلو می‌روید، ارتفاعتان از سطح زمین نیم متر بالا برود، می‌توانید بگویید که شیب این خیابان نیم (یک دوم) است. در اینجا افزایش ارتفاع یعنی (نیم متر) را بر طول مسیری که پیموده‌اید (یک متر) تقسیم کرده‌ایم (البته چنین خیابانی در دنیای واقعی بیش از حد سر بالایی است!)
این مفهوم را اولین بار حدود ۳۷۰ سال پیش، رنه دکارت، ریاضی دان فرانسوی معرفی و فرمول بندی کرد. اما همان زمان، سوال مهمی مطرح شد، اگر خیابان شما، بجای یک خط صاف، یک منحنی باشد، شیب آن خیابان، نه در کل مسیر، که در نقطه‌ای که شما – مثلا در میانه خیابان – ایستاده‌اید چقدر است؟ تلاش برای یافتن پاسخ این سوال، در نهایت به کشف حساب دیفرانسیل و انتگرال و البته دعوای مشهور دو ریاضی‌دان، ایزاک نیوتون و گوتفرید ویلهلم لایبنیتس ختم شد.
تولد حسابان؛ پیوند حرکت، با جبر و هندسه
پیر دو فرما ریاضی‌دان دیگر فرانسوی همزمان با دکارت، ازجمله روی مفاهیم مشابهی – خط مماس و شیب خط – کار می‌کرد. اما سرانجام در سال ۱۶۸۴ میلادی (حدود ۳۴۰ سال پیش) گوتفرید ویلهلم لایبنیتس مقاله‌ای منتشر کرد که از آن به عنوان تولد حسابان (Calculus) یاد می‌شود. خلاصه عنوان طولانی این مقاله انقلابی، چنین بود: “روشی جدید در محاسبه بیشینه (ماکزیمم) و کمینه (مینیمم) و خط مماس”. برای آنکه مقیاسی برای قدمت این مفهوم داشته باشید در نظر بگیرید که وقتی این مقاله منتشر شد، ایران در عصر صفویه و شاه سلیمان اول بر تخت پادشاهی بود.
لایبنیتس در این مقاله، موفق شده بود با روش‌های جبری، و با استفاده از مفهوم “اندازه بی‌نهایت کوچک” یا (Infinitesimal) شیب خط مماس بر یک منحنی را به صورت دقیق و به شکلی که به اصطلاح “مو لای درزش نمی‌رفت” محاسبه کند. او همچنین موفق شده بود، با تقسیم سطح زیر یک نمودار به قسمت‌های بی‌نهایت کوچک و جمع کردن آنها باهم، سطح زیر نمودار یک تابع را با دقت محاسبه کند. لایبنیتس همچنین دو مفهوم به ترتیب دیفرانسیل و انتگرال را با “قضیه اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال” به هم ارتباط داد و آن را نظام مند کرد.
البته انتشار این مقاله، نیوتون را به شدت عصبانی کرد، او ادعا می‌کرد که پیش از لایبنیتس، دیفرانسیل و انتگرال را کشف کرده است و حاصل تحقیقاتش دزدیده شده است. تحقیقاتی که در دوران مدرن انجام شده است، به این باور عمومی رسیده است که هر دو دانشمند، به صورت مستقل و همزمان ایده دیفرانسیل و انتگرال را کشف کرده‌اند، اما آنچه ما امروز استفاده می‌کنیم، روش نوشتن و نشانه‌های لایبنیتس است.
قضیه اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال، یکی از مهمترین مفاهیم ریاضی است که به زبان ساده، نشان می‌دهد، مشتق تابعی که سطح زیر یک نمودار را در یک بازه مشخص نشان می‌دهد، برابر با مقدار آن تابع در نقطه انتهایی تابع است و به این ترتیب رابطه‌ای میان دیفرنسیال و انتگرال ایجاد می‌کند.
در سال ۱۸۶۸، برنهارت ریمان ریاضی‌دان آلمانی، اولین مفهوم دقیق ریاضی انتگرال را ارائه کرد. در سال‌های بعد، مخصوصا در اوایل قرن بیستم، محاسبه انتگرال، پیشرفت‌های قابل توجهی یافت. برای نمونه هنری لبگ، روشی را برای انتگرال گیری از توابع غیر مشتق پذیر و منفی را معرفی کرد که یکی از سنگ بناهای حسابان تصادفی (Stochastic calculus) شد، که به توسعه فیزیک (با کارهای آلبرت انیشتین) و کارهای انقلابی کیوشی ایتو، ریاضی‌دان ژاپنی در توسعه علوم مالی کمک کرد.
انتگرال به چه درد زندگی می‌خورد؟
انتگرال در زندگی روزمره به کار نمی‌اید. شما هرگز برای گذران زندگی خود نیازی به گرفتن انتگرال ندارید. و البته به بسیاری از مفاهیم حتی ساده‌تر هم که در کتاب‌های ریاضیات دوران راهنمایی یا بالاتر آمده نیازی ندارید. مثلا مفهوم بردار، یا حتی گرفتن جذر یک عدد، در زندگی روزمره آنچنان به کار نمی‌آیند.
در بسیاری از کشورهای غربی هم، دانش‌آموزانی که علاقه‌ای به ادامه تحصیل ندارند، یا کودکان و نوجوانانی که دچار کم‌توانی در یادگیری هستند، می‌توانند درسی با عنوان “ریاضیات برای زندگی” را انتخاب کنند که به محاسبات ساده برای زندگی روزمره محدود می‌شود.
اما آنچه در دوران دبیرستان و پیش دانشگاهی به عنوان ریاضیات تدریس می‌شود، مقدمه‌ای برای ورود به دانشگاه است. حساب دیفرانسیل و انتگرال، نشان می‌دهد که چطور حدود چهار قرن پیش، دانشمندانی با قلم و کاغذ، ایده‌های ساده هندسه و جبر را تلفیق کردند، و ابزاری ساختند که با آن می‌توان سرعت حرکت سیارات را اندازه گرفت.
مرور کتاب‌های درسی کشورهای مختلف جهان و سوالات امتحانی پایان دبیرستان – که به سادگی در اینترنت در دسترس است – نشان می‌دهد که مفهوم دیفرانسیل و انتگرال، یکی از بخش‌های اصلی درس ریاضیات دبیرستان است، البته سطح دشواری در کشورهای مختلف جهان متفاوت است. بریتانیا، آمریکا و کانادا، به عنوان سه کشور عمده دانشجو پذیر، شناخته میشوند و در هر سه کشور حساب مقدماتی دیفرانسل و انتگرال جزو درس‌های دبیرستان وجود دارد. ژاپن یکی از توسعه یافته ترین کشورها از نظر آموزش ریاضیات در دبیرستان است. روسیه، کره جنوبی و به تازگی کشورهای شرق اروپا هم در سال‌های اخیر آموزش ریاضیات را توسعه داده‌اند و دانش‌آموزان این کشورها در رده بندی‌های جهانی در صدر فهرست مهارت‌های ریاضیات قرار دارند.
