ماهیت ریاضیات: دو نـظر متفاوت
دانشمندان، همیشه به ماهیت واقعی و مادی ریاضیات، توجه نـداشته‌اند. در دروهـ‌های بـاستانی، به ریاضیات، به عنوان دانشی می‌نگریستند که با دنیای مادی واقعی و آنچه که در حقیقت وجـود دارد، هیچ وجه مشترکی نداشت. گروه بزرگی از دانشمندان، ریشه‌های مادی ریاضیات را قبول نداشتند. آنـها چنین نقطه‌نظری را دربارهٔ ریـاضیات، تـوهین‌آمیز و شرم‌آور می‌پنداشتند. این دانشمندان، ریاضیات را فوق همهٔ علاقه‌های عملی، فوق زندگی عادی و فوق تشویشهای زمینی آدمی، به حساب می‌آورند. افلاطون (حدود سالهای 427-347 پیش از میلاد) دانشمند یونان باستان می‌آموزد: دنیایی که مـا را فراگرفته است، سایهٔ لرزان و ناپایداری از تصور جهان غیرزمینی و اسرار آمیز بالاست.
پیروان افلاطون و بسیاری از دانشمندان دوره‌های بعد، تا زمان ما، کوشش می‌کنند ما را به همین موضوع، قانع کنند. اینها اطمینان می‌دهند کـه روح بـی‌جسم و نامرئی که همه‌جا حاضر است، جاودانی و بی‌تغییر، وجود دارد. همین مثال بر جهان حکومت می‌کند و بنیان آنرا تشکیل می‌دهد.
اینها، به وجود آمدن و تکامل ریاضیات را در اثر فعالیت روح آدمی می‌دانند. اینها مـی‌گویند کـه تفکر در ذهن آمی ایجاد می‌شود و همین تفکر، رابطه‌های ریاضی را بیان می‌کند. رابطه‌ها در درون خود ریاضیات تکامل پیدا می‌کند و از همانجا نتیجه‌هایی به دست می‌آید. از این نتیجه‌گیریها، احکام تازه و تازه‌تری به وجـود مـی‌آید، که تنها به کمک منطق خالص، اثبات می‌شوند.
دانشمندانی که در این موضع قرار دارند، ریاضیات را به عنوان دانشی که شکلهای فضایی و رابطه‌های کمی جهان واقع را بررسی می‌کند، نمی‌شناسند. آنـها بـاور نـدارند که ریاضیات زاییدهٔ نیازهای زنـدگی، پیـشرفت صـنعت و رشد علوم طبیعت است. آنها، خدمتی را که ریاضیات، به منافع انسانی می‌کند، نفی می‌کنند.
درواقع، آنها قبول دارند که عمل، صـنعت و عـلم از نـتیجه‌گیریهای ریاضیات، استفاده می‌کند. این چیزی روشن است و کـسی نـمی‌تواند آنرا نفی کند. ولی تأکید می‌کنند که این نتیجه‌گیریها مطلقا نه برای نیازهای عمل و نه برای فعالیتهای آدمی به وجـود نـیامده اسـت.
آنها تأکید می‌کنند که این نتیجه‌گیریها در اثر فعالیت ذهنی دانـشمندان و خلاقیت روح و تفکر آنها، به وجود آمده است. به قول آنها، ارتباط دادن ریاضیات به جهان مادی و قبول این مـطلب کـه نـتیجه‌گیریهای ریاضی، منعکس‌کنندهٔ روابط کمی اشیاء و پدیده‌هاست، به معنای مبتذل کردن و حـقیر شـمردن این تراوش بزرگ روح بشری است.
آنها تلاش می‌کنند که اعتقاد خود را با استناد به انتزاعی بـودن ریـاضیات ثـابت کنند. هر علمی، موضوع و پدیدهٔ مشخصی از طبیعت، جامعه و تفکر آدمی را مورد بـررسی قـرار مـی‌دهد. فیزیک و شیمی، خواص فیزیکی و شیمیایی اشیاء و و پدیده‌های طبیعت را مطالعه می‌کنند. موضوع گیاه‌شنای، جانورشناسی، تـشریح و زیـست‌شناسی، نـباتات و جانوران و انسان است. جغرافیا-شرایط طبیعی و فیزیکی و محیط جغرافیایی: و اقتصاد-توزیع تولید و شرایط و خـصوصیات پیـشرفت آن در کشورهای مختلف جهان را مطالعه می‌کند. نجوم دربارهٔ ستارگان، سیاره‌ها و اجسام آسمانی صحبت مـی‌کند. تـاریخ از حـوادثی که در اجتماعات انسانی رخ داده است، گفتگو می‌کند.
ولی، ریاضیات چی؟ می‌پرسند: «وقتی که با ریاضیات کار می‌کنید، بـا کـدام شی‌ء یا پدیدهٔ جهان واقعی، سروکار دارید؟» با هیچکدام. شما سروکارتان در ریاضیات، با مـفاهیم کـاملا انـتزاعی است.
ذهن‌گرایان می‌گویند: مگر از اینجا نتیجه نمی‌شود که ریاضیات، هیچ وجه اشتراکی با اشیاء و پدیـده‌های مـشخص ندارد؟ و اینکه، ریاضیات تنها به مفاهیم انتزاعی می‌پردازد و خود انتزاعی‌ترین دانشهاست و تنها از تـفکر خـالص آدمـی به وجود آمده است؟ مگر این حقیقت روشن نیست که این علم، جدا از ارادهٔ آدمی و بطور بـدیهی، بـدون ارتـباط با نیازهای علمی بشر، وجود دارد و تکامل می‌یابد؟
می‌بینید که دو نقطهٔ نظر کاملا مـخالف، وجـود دارد. یکی از آنها قبول می‌کند که بنیان همهٔ اشیاء و پدیده‌های جهانی که ما را دربرگرفته است، ماده اسـت! و ایـن همان نقطه‌نظر ماتریالیستی است.
نقطه‌نظر دیگر، مبنا و بنیان همین اشیاء و پدیده‌های جـهان دوروبـر ما را، اندیشه می‌داند. و این همان نقطه‌نظر ایـده‌آلیستی اسـت.
از دورهـ‌های باستانی، مبارزهٔ آشتی ناپذیری بین این‌دو نـقطه‌نظر وجـود داشته است.
ماتریالیستها، براساس دانش موجود، این‌را نفی نمی‌کنند که فکر در ذهن آدمـی بـه وجود می‌آید. مغز انسان مـادی اسـت و از یاخته‌ها تـشکیل شـده اسـت. هر یاخته مادی است، و بنابراین، مـغز هـم قسمتی از ماده است و ضمنا، کامل‌ترین و ظریف‌ترین قسمت آنست. تفکر زاییده مغز انـسانی و نـتیجهٔ فعالیت یاخته‌های مادی آنست، یعنی تـفکر هم نتیجه‌ای از تکامل ایـن یـاخته‌هاست.
اعتقاد به مادی بودن جـهان، و وجـود آن خارج از ذهن ما و بدون ارتباط با دانش ما، اساسی‌ترین چیز در ماتریالیسم است.
در مـقابل، ایـده‌آلیستها معتقدند که ماده، به خـودی خـود، وجـود ندارد، دانش و تـصور آدمـی است که ماده را بـه وجـود آورده است. و درست به همین طریق به وجود ماده ساختهٔ تصور خود، پی می‌بریم. خارج از تـصور مـا، ماده‌ای وجود ندارد.
ایده‌آلیستها می‌گویند: هـمهٔ اشـیا و پدیده‌های جـهان اطـراف خـود را، تنها ببرکت وجود تـصور خود، درک می‌کنیم. ما آنها را تنها به این مناسبت قبول می‌کنیم که می‌بینیم، می‌شنویم و لمس مـی‌کنیم. تـرکیب عناصر احساس: لمس شکلها، رنگها، صـداها، بـوها و مـزه‌ها، بـه مـا این امکان را مـی‌دهد کـه (به اعتقاد ایده‌آلیستها)، اشیاء را درک کنیم.
آنها می‌گویند که تصور و دانش آدمی، مفاهیمی را به وجود می‌آورد کـه تـنها در خـیال قابل درکند، مفاهیم اشیاء و پدیده‌هایی که در زنـدگی وجـود نـدارند.
مـا دربارهٔ؟؟ ضلعی صـحبت مـی‌کنیم، اگرچه شما در اطراف خود، هرگز به؟؟ ضلعی برخورد نمی‌کنید.
ایدآلیستها می‌گویند: شما در طبیعت، نه به عدد برخورد می‌کنید و نه جدا از جسم و شکل، به نقطه و خط و صفحه. اینها در طبیعت وجـود ندارند، اینها خارج از جسم و شکل هندسی پیدا نمی‌شوند. ولی همهٔ اینها در ریاضیات آنهم به‌صورت خالص خود، وجود دارند. و شما می‌خواهید باور کنید که این مفاهیم: عدد، نقطه، خط و صفحه، مفاهیمی، از اشـیاء و پدیـده‌های جهان واقعی‌اند؟
و راستی اینها کدام واقعیت‌اند؟ مگرنه اینکه اینها در طبیعت نیستند؟ پس چرا در ریاضیات وجود دارند؟ و از اینجا ایده‌آلیستها حکم می‌کنند که این مفاهیم و دیگر مفاهیم ریاضی تنها زاییده تفکر آدمی‌اند، و تنها در تصور او وجود دارند.
ایـده‌آلیستها مـی‌گویند: شما می‌دانید که نقطهٔ هندسی بدون بعد است و طول و عرض و ارتفاعی ندارد. خط راست، عرض و ارتفاع ندارد، ولی طول دارد. صفحه، ارتفاع ندارد و تنها طـول و عـرض دارد. چیزی در طبیعت پیدا کنید، کـه بـعد نداشته باشد. شما نمی‌توانید چنین چیزی را پیدا کنید، چنین چیزهایی در جهان اطراف ما وجود ندارد.
آنها می‌گویند، هر بچه‌ای می‌داند که هر چیزی کـه در دنـیای ما وجود داشته بـاشد، سـه بعد دارد: طول، عرض و ارتفاع. و شما می‌بینید که در ریاضیات، چیزهایی وجود دارد که همهٔ این بعدها را ندارند!
آیا با تمام اینها می‌توان گفت که ریاضیات، اشیاء و پدیده‌های طبیعت را بررسی می‌کند؟ البته که نه! انـدیشه‌های ریـاضی در مغز آدمی به وجود می‌آید و تکامل پیدا می‌کند: و سپس احکام، قضایا، نتیجه‌گیریها و روشهای بررسی آن، در عمل و زندگی مورد استفاده قرار می‌گیرد، و به عقیدهٔ ایده‌آلیستها، تنها به این جهت در زندگی به کـار مـی‌روند که از تـفکر درست و عقل سلیم برخاسته‌اند.
نظر ایده‌آلیستها درست نیست، زیرا نظر آنها با حقیقت خارجی تضاد دارد.
چرا نـظر ایده‌آلیستها نادرست است؟ چه تضادی با حقیقت خارجی دارد؟
چگونه می‌توان نظر آنها را دربـارهٔ ریـاضیات رد کرد؟ کوشش مـی‌کنیم به این پرسشها، پاسخ بدهیم.
این درست است که در طبیعت نمی‌توان به عدد مجرد، خط هندسی و صـفحهٔ هـندسی برخورد کرد. واقعا هم، این مفاهیم را، به عنوان مفاهیم مستقلی که جدا از اشـیاء واقـعی بـاشند، پیدا نمی‌کنیم. در طبیعت می‌توان به این چیزها برخورد کرد: پنج اسب، نخی که محکم کـشیده شده باشد (که خط راست را تلقین می‌کند)، سطح صاف دریاچه در هوای کاملا آرام (کـه همان صفحه است).
ولی مـگرنه ایـنست که شما لباس به‌طور کلی نمی‌پوشید، بلکه تنها لباس معینی مثل کت یا پالتو را می‌پوشید. و این مطلب، مانع آن نمی‌شود که شما از مفهوم «لباس» استفاده کنید. شما در طبیعت، به درخت، به مـفهوم کلی آن، برخورد نمی‌کنید، بلکه تنها با درختهای مشخصی سروکار دارید: کاج، تبریزی، سیب. و این، برای کسی شگفت‌آور نیست. هیچ آدمی که عقل سلیم داشته باشد، این حکم را نمی‌کند که لباس، درخـت و مـفاهیم دیگری از این قبیل، تنها در تصور انسان وجود دارد، نه درواقع امر.
درواقع، در طبیعت، چیزی به نام صفحه وجود ندارد، ولی مجموعهٔ اشیایی وجود دارد، که دارای صفحه‌اند. بشر، اختلافی را که این اشیاء بـا یـکدیگر دارند، کیفیت خاص آنها و خاصیتهای انفرادی آنها را کنار می‌گذارد و از آنچه که برای همهٔ این اشیاء مشترک است، مفهوم هندسی صفحه را می‌سازد. اهمیت وجود این مفهوم خیلی‌زیاد است. مفهوم صـفحه، مـی‌تواند خصوصیت فضایی خیلی چیزها را منعکس کند: سطح آینه‌ها، سطح میزها، سطح آب دریاچه‌ها در هوای آرام، سطح تخته سیاه، سطح میدان اسفالت شده و بسیاری سطهای مختلف دیگر، از دنیای مادی که در اطـراف مـا وجـود دارد.
وقتی که شما از عددی مـانند پنـج نـام می‌برید، جنبهٔ کمی گروههای معینی از اشیاء را به این عدد مربوط کرده‌اید: پنج انگشت دست، پنج ضلعی ستاره‌ای و غیره. چه چیزی بـین ایـن گـروهها مشترک است؟ چه چیزی این گروههای مختلف را به هم مـربوط مـی‌کند: گروه پنج انگشت و گروه رأسهای پنج ضلعی ستاره‌ای؟ جنبهٔ کمی آنها، یعنی از لحاظ کمی، این گروهها یکنوع‌اند، اگرچه از لحاظ کیفی بـاهم فـرق دارنـد.
آنچه که جنبهٔ کمی اشیا و پدیده‌ها را مشخص می‌کند و بین آنـها مشترک و بدون تفاوت است، به وسیلهٔ عدد بیان می‌شود.
عدد، گروهی از اشیا را، بدون توجه به ماهیت و محتوی آنـها، مـشخص مـی‌کند. مثلا، عدد ده، به معنای وجود ده شی‌ء معین است: ده دفترچه، ده خـطکش یـا ده چیز و پدیده از هر چیز دیگر.
به این ترتیب، هر مفهوم ریاضی و هر نتیجه‌گیری ریاضی، اگرچه خـصلت انـتزاعی داشـته باشد، منعکس‌کنندهٔ پدیده‌های مشخص و معینی از دنیای واقعی‌اند. اینست آموزش ماتریالیستها.
وقتی کـه شـیمی‌دان، عـملی از ماده را در آزمایشگاه، بررسی می‌کند. از طبیعتی که درواقع، ماده در آن قرار دارد، جدا می‌شود. شیمی‌دان کـوشش مـی‌کند، ایـن ماده را از طبیعت جدا کند و در آزمایشگاه قرار دهد و خاصیتهای آنرا بطور خالص وجدا از هر پدیـدهٔ دیـگری مورد مطالعه قرار دهد. و هرکدام از ما هم، وقتی‌که مساله‌ای را حل می‌کنیم، خود را از مـحتوی مـشخص آن جـدا می‌کنیم.
به خاطر بیاورید که وقتی شما مساله‌های هندسی مربوط به زمین را حل مـی‌کنیند، نـاهمواری زمین را درنظر نمی‌گیرید و خود را از اشیایی که روی زمین قرار گرفته‌اند، جدا می‌کنید. دشت را بـه عـنوان قـسمتی از صفحه، و مرز را به عنوان خط هندسی، به حساب می‌آورید. وقتی که شما در محلی، فاصلهٔ بـین دو شـی‌ء و مثلا دو درخت را اندازه می‌گیرید، از اندازهٔ خود این درختها صرفنظر می‌کنید، به انـدازه‌ها و سـایر خـاصیتها و کیفیتهای آنها توجه نمی‌کنید، درختها را مثل نقطه‌هایی درنظر می‌گیرید و طول پاره‌خط مورد نیاز خود را بـدست مـی‌آورید.
انـتزاع از اشیاء و پدیده‌های مشخص واقعی، و براساس آن، تشکیل مفاهیم ریاضی، در آزمایشگاههای دانشمندان انـجام مـی‌شود. آزمایشگاه ریاضی دانشمندان، خود زندگی است. مردم، اشیاء و پدیده‌های مشخص را به وسیلهٔ انگشتان دست و سنگریزه‌ها شـماره مـی‌کردند، و در طول سده‌های بسیار، بارها و بارها، جنبه کمی اشیاء و پدیده‌های معینی را معین مـی‌کردند.
مـفهوم عدد و شکل هندسی، به خودی خود در ذهـن آدمـی پیـدا نشد. تکرار دائمی جنبه کمی اشیاء و پدیـده‌ها، آدمـی را به فکر تشکیل مفاهیم مجرد ریاضی انداخت؛ در طول زمان، از این مفاهیم مجرد دیـگری نـتیجه گرفتند و به این کار چـنان عـادت کردند کـه راهـی را کـه پدران آنها برای دست یافتن به ایـن مـفاهیم، پیموده بودند، فراموش کردند.
انگلس می‌گوید: «ده انگشت دست که مردم بـه کـمک آن می‌شمردند، یعنی نخستین عمل حساب را انـجام می‌دادند، هرچیزی هست جـز آفـرینش آزاد فکر».
انتزاع ریاضی به چـه معناست؟
انـتزاع، یا جدایی ظاهری از طبیعت، تنها خاص ریاضیات نیست.
هر عملی، مصالح واقعی خـود را، از راه مـشاهده و تجربه، جمع‌آوری می‌کند. این مـصالح جـمع‌آوری شـده، به صورت عـملی، مـورد بررسی قرار می‌گیرد. نـتیجهٔ ایـن بررسیها، تعمیم داده می‌شود و براساس آنها، نتیجه‌گیریهای علمی بدست می‌آید.
نتیجه‌ها، ممکن است به صـورت فـرضهای علمی (فرضیه) و یا به صورت قـضیه‌های ثـابت شدهٔ عـلمی بـاشد. فـرضیه‌های علمی، اگرچه براساس واقـعیتها تنظیم شده‌اند، نیاز به تحقیقهای بعدی دارند. نظریه‌های علمی، یعنی حقایق نظری کلی، در عمل مـورد تـحقیق قرار گرفته‌اند و همیشه و همه‌جا، با رعـایت چـگونگی مـوضوع آنـها، درسـت‌اند.
علم به چـه تـرتیب، نتیجهٔ بررسیهای خود را تعمیم می‌دهد؟ برای اینکه نتیجه‌هایی که از راه مشاهده و تجربه فراهم شده است، تعمیم داده شود و از آنها نـتیجه‌های عـلمی، بـه صورت فرضیه‌ها و نظریه‌ها، بدست آید، باید مـوضوعهای مـورد بـررسی را از خـاصیتهای اخـتصاصی و از مـاهیت مشخص آنها، جدا کرد؛ و در جستجوی خاصیت کلی بود که در همهٔ اشیاء و پدیده‌های مورد بررسی، مشترکا وجود دارد.
بسیاری از اشیاء و پدیده‌ها، ویژگیها و خاصیتهایی دارند که مخصوص به خود آنـهاست. همین ویژگیهاست که یک چیز یا پدیده را از چیزها و پدیده‌های دیگر متمایز می‌کند. برای تعمیم علمی، این ویژگیها، مورد توجه نیست، بلکه تها خطوطی از اشیاء و پدیده‌ها، درنظر گرفته می‌شود که بـرای هـمهٔ آنها مشترک است، و در عین حال در هر کدام از اشیاء مورد بررسی هم، وجود دارد. و این، همان راهی است که به سوی تشکیل مفاهیم مجرد می‌رود.
از همان دوره‌های باستانی، دانشمندان، ضمن مـشاهده و تـوجه به جزر و مد دریایی، در کنار دیگر خصوصیات، متوجه ارتباط نوسانهای سطح دریا با صور ماه شدند. مرتبا وضع مشاهده را تغییر دادند و این پدیـده را در دریـاهای مختلف و زمانهای مختلف سال، بـررسی کـردند، همه‌جا این رابطهٔ بین نوسان سطح آب دریا و صور ماه را مشاهده کردند.
دانشمندان، خاصیت مشترکی را که پیدا کرده بودند، به صورت یک نتیجه‌گیری تعمیم دادنـد و اعـلام کردند که جزر و مـد، یـعنی نوسانهای پیاپی سطح آب دریا، در اثر جاذبه ماده به وجود می‌آید.
ولی دانشمندان با چشمهای خود این رابطه را نمی‌دیدند و نمی‌توانستند ببینند پس این نتیجه‌گیری را چگونه بدست آوردند؟ این نتیجه‌گیری، دراثر انتزاع گرفته شد.
دانشمندان، ضـمن تـامل دربارهٔ پیش‌آمدهای جداگانهٔ نوسانهای سطح آب دریا، توانستند این پیش‌آمدها را تعمیم بدهند و رابطهٔ مستقیم بین آنها و جاذبهٔ ماه را پیدا کنند. بعد هم، با ادامهٔ بررسیهای خود، کار تعمیم پیش‌آمدها را دنبال و نـتیجه‌گیری خـود را دقیق‌تر کـردند.
آنها دریافتند که حد اکثر مد، در روزهای ماه نو و ماه کامل پیش می‌آید. وقتی که ماه، زمـین و خورشید، تقریبا روی یک خط راست واقع باشند، و حد اقل مد در روزهـای نـخستین و آخـرین ربع ماه، وقتی که جهت از زمین به ماه و خورشید، با هم زاویهٔ قائمه می‌سازند. تمام این نـظریهٔ عـلمی، که به نظریهٔ مد شهرت دارد، نتیجهٔ تعمیم مشاهده‌ای است که روی دریا و اجـرام آسـمانی، انـجام گرفته است.
این نظریه، در عمل، کاملا درست از آب درآمد و براساس این نظریه توانسته‌اند «جدولهای مربوط بـه مد» را محاسبه و منتشر کنند. در این جدولها می‌توان به درستی میزان مد آب دریا را، در هـر نقطه‌ای که باشد و بـرای هـر زمانی از سال مشاهده کرد.
به این ترتیب، روش علمی اینست که خاصیتهای اختصاصی و انفرادی را کنار بگذارد و آنچه را به‌طور مشترک در همهٔ اشیاء و پدیده‌های موردنظر، مشاهده می‌کند، بیرون بیاورد. حتی بچه‌ها هم، این شـیوه را به کار می‌برند. دانش‌آموزان هشت ساله، می‌توانند قانون جابجایی و شرکت‌پذیری جمع و ضرب را نتیجه بگیرند. و اینها همان قانونهایی هستند که در اثر تعمیم خاصیتهای این دو عمل، بدست می‌آید.
شما، مثلا نمی‌توانید، مستقیما و بـا چـشمهای خودتان، اتم را ببینید، باوجوداین شما تردیدی در بودن آن بخود راه نمی‌دهید. از کجا به وجود اتم، اطمینان دارید؟ باز هم به کمک روش انتزاع از طبیعت وجدا شدن از پدیده‌های مشخص و پی بردن به نتیجهٔ کلی و تـعمیم یـافته.
جمع شدن بخار آب را هم در جو زمین نمی‌توان دید. ولی کاملا اطمینان دارید که آنها در جو زمین، جمع می‌شوند و بهمین مناسبت برف و باران فرو می‌ریزد.
نمی‌شود، سرعت حرکت نور را مستقیما مـشاهده کـرد. ولی باز هم از راه انتزاع، شما به وجود چنین سرعتی برای حرکت نور، تردید ندارید.
شما هرگز در طبیعت اطراف خود یک منشور کامل وجهی پیدا نمی‌کنید، ولی به کمک تجرید و تـعمیم، آنـرا درکـ می‌نمایید.
ریاضیات، یک علم انـتزاعی اسـت. هـمهٔ مفهومها، نتیجه‌گیریها و قانونهای آن انتزاعی است. ولی خصلت انتزاعی بودن ریاضیات، یکباره پیدا نشد.
در دوره‌های باستانی، زمانی که دانش ریاضی نخستین گامهای پیـشرفت را بـر مـی‌داشت، درواقع چیزی جز رویهم جمع شدن آگاهیهای مـشخص نـبود. و این آگاهیها از راه آزمایشهای عملی بدست آمده بود. همانطور که پیش از این هم گفتیم، تلاش آدمی بخاطر زندگی خود، آنـهم در جـریان سـده‌های بسیار، توانست براساس مشاهده‌ها و تجربه‌های او، نتیجه‌گیریهایی را برایش ببار آورد.
مردم بـارها و بارها، بین دو نقطهٔ مشخص را پیمودند، و براساس مشاهده و تجربه، به این نتیجه رسیدند که کوتاهترین راه، تنها در مسیری است کـه رویـ خـط راست قرار گرفته باشد. این نتیجه‌ای که دست آورد عمل و تجربه بـود، از نـسلی به نسل بعدی رسید و باز هم بارها مورد آزمایش قرار گرفت و همیشه درست از آب درآمد. همیشه و هـمه‌جا، مـردم بـه این حقیقت برخورد کردند که طول خط راستی که دو نقطه را روی یک صـفحه بـهم مـی‌پیوندد، کوتاهتر از خط شکسته‌ای است که از این دو نقطه می‌گذرد.
این آگاهی، که مستقیما از راه عـمل بـدست آمـده بود، در طول سده‌های بعد، شکل گرفت و مورد بررسی واقع شد، تا وقتی که بـه صـورت یک اصل هندسی درآمد.
مسلم است که اصول بنیانی ریاضیات مقدماتی، همراه بـا پیـدا شـدن مفهوم عدد و شکل، به وجود آمد، ولی سده‌های بسیاری گذشت تا این مفهومها شکل عـلمی بـه خود گرفت.
عددنویسی و دستگاه عددشماری امروزی، با همهٔ سادگی که دارد، یکباره وارد زندگی بـشر نـشد. درجـریان سده‌های متوالی، حتی فکر تنظیم آنرا هم نمی‌کردند و بعد از کشف آنهم، چند سده‌ای طول کـشید تـا به صورت آشنای امروزی درآمد. اما بعد از آن، باز صدها سال گذشت تـا دسـتگاه عـددشماری مورد قبول همه قرار گرفت.
به اصل موضعی بودن رقمها و لزوم تعیین نهادی برای صفر، بـرای نـخستین‌بار در سـده‌های پنجم و ششم، ریاضی‌دانهای هندی پی بردند. به نظر می‌رسد که این ساده‌ترین و طـبیعی‌ترین وضـع برای عددنویسی است. ضمنا باید یادآور شد که حتی ریاضی‌دان بزرگی چون ارشمیدس (سالهای 287-212 پیش از مـیلاد) هـم با این طریقهٔ عددنویسی، آشنا نبود. یکی از مساله‌هایی که وقت ارشمیدس را گـرفته بـود، محاسبهٔ با عددهای بزرگ بود.
ارشمیدس، در کـتاب خـود بـنام «محاسبهٔ شنهای داخل کره‌ای که تا سـتاره‌های ثـابت باشد»، همه کسانی را که گمان می‌کنند تعداد این شنها را نمی‌توان محاسبه کرد، مـورد سـرزنش قرار می‌دهد و با نبوغ خـود ثـابت می‌کند کـه ایـن مـساله قابل حل است. او ثابت می‌کند کـه رشـته عددهای طبیعی، بی‌پایان است، باوجوداین برای یک مسأله مشخص کافی است فـاصله‌ای از ایـن رشته را درنظر گرفت و نیازی به اسـتفاده از بی‌پایان بودن آن نیست.
مـمکن اسـت در برخورد اول به نظر برسد کـه چـنین محاسبه‌ای لازم نیست، زیرا هیچگونه رابطه‌ای با زندگی و سایر دانشها ندارد. ولی اینطور نیست، و حـل ایـن مساله، دارای هدف جدی عملی اسـت: پیـدا کـردن وسیله‌ای برای بـیان عـددهای بزرگ. و این مساله را، ارشـمیدس بـنحو درخشانی حل کرد.
بنابر محاسبهٔ ارشمیدس، تعداد شنهای فضای کیهانی، بیش از 63 10 نبود، یعنی عـددی کـه از یک واحد و 63 صفر درست شده اسـت. ارشـمیدس تاکید مـی‌کند کـه عـدد بزرگتر از این عدد هـم وجود دارد، هر چقدر بزرگتر که بخواهیم. به این ترتیب، در نوشتهٔ ارشمیدس، مفهوم بی‌پایان بودن رشـتهٔ عـددهای طبیعی وارد شده است.
البته، ارشمیدس، عـددهای بـزرگ را نـنوشت. ولی مـسلم اسـت که فکر بـی‌پایان بـودن رشتهٔ عددهای طبیعی، متعلق به ارشمیدس است و باز مسلم است که نیازهای انسانی در طول سده‌های مـتوالی، امـکان بـه وجود آمدن این آگاهی را فراهم کرد.
فـکرهای عـالی و نـظریه‌های داهـیانه، تـقریبا هـمیشه ساده و روشن بنظر می‌آیند، و آدمی را دچار شگفتی می‌کند که چرا قبلا بنظر کسی نرسیده است. ولی این تنها بنظر می‌رسد، درواقع امر، هوش فوق العاده و تفکر و استعداد داهـیانه‌ای لازم است تا کشف قانون تازه یا مفهوم تازه‌ای در ریاضیات انجام گیرد.
برای اینکه مدرسه‌ای ساخته شود، صرف نیروی جسمی و فکری زیادی لازم است. باید نقشه ساختمان و طرح معماری آن آماده شود، زمـین زیـرساختمان و جای مناسبی برای آن، درنظر گرفته شود، مصالح ساختمانی، ماشین‌آلات و وسایل کار به محل زمین آورده شود.
برای اینکه بتوان از راه انتزاع کامل، چنین دانش منظمی چون ریاضیات را به وجود آورد، باید قـبل از هـمه ذخیرهٔ عظیمی از «مصالح ساختمانی» را تهیه دید. این «مصالح ساختمانی» همان آگاهیها و مفهومهای ریاضی است. ذخیرهٔ آگاهیها و مفهوم- های ریاضی، باید در طول سده‌های بـسیار، رویـهم انباشته شود. و درواقع هم، ایـن مـرحله، شامل کار جدی و پرزحمت تعداد بسیاری از محققین نسلهای متوالی را در یک دورهٔ هزار ساله، دربرمی‌گیرد. و انتزاع ریاضی، نیروی ما را در درک عمیق‌تر جنبه‌های متفاوت دنیای وجود مـا، افـزایش می‌دهد.
منبع
هدهد
تیر 1358 – شماره 2
ترجمهٔ پرویز شـهریاری